Сколько способов можно сделать следующее: а) выбрать и распределить 3 книги между победителями конкурса, занявшими

Светлый_Ангел

66

a) Чтобы найти количество способов выбрать и распределить 3 книги между победителями конкурса, занявшими 3 первых места, мы можем использовать комбинаторику и применить формулу перестановок или размещений.

Перестановка - это упорядоченное размещение объектов. Для нашей задачи нам нужно распределить 3 книги между 3 победителями, поэтому нам подойдет формула размещений без повторений. Формула для размещений без повторений выглядит так:

\[A(n, r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}\]

где n - количество объектов, r - количество мест.

В нашей задаче, n = 8 (всего 8 книг) и r = 3 (3 места). Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[A(8, 3) = \frac{{8!}}{{(8-3)!}} = \frac{{8!}}{{5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5!}} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\]

Итак, есть 336 способов выбрать и распределить 3 книги между 3 победителями конкурса, занявшими 3 первых места.

b) Чтобы найти количество способов выбрать 3 книги для подарка приятелю из доступных 8 книг, мы можем использовать комбинаторику и применить формулу сочетаний.

Сочетание - это неупорядоченный выбор объектов. Для нашей задачи нам нужно выбрать 3 книги из 8 доступных, поэтому нам подойдет формула сочетаний без повторений. Формула для сочетаний без повторений выглядит так:

\[C(n, r) = \frac{{n!}}{{r! \cdot (n-r)!}}\]

где n - количество объектов, r - количество выбираемых объектов.

В нашей задаче, n = 8 (всего 8 книг) и r = 3 (мы выбираем 3 книги). Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[C(8, 3) = \frac{{8!}}{{3! \cdot (8-3)!}} = \frac{{8!}}{{3! \cdot 5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{3! \cdot 5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 8 \cdot 7 \cdot 2 = 112\]

Итак, есть 112 способов выбрать 3 книги для подарка приятелю из доступных 8 книг.