Сколько решений имеет уравнение [tex] {x}^{n} = 2500[/tex] при четном n и при нечетном?

Stepan

15

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

При четном n, уравнение будет выглядеть так:
\[x^n = 2500\]

Чтобы найти решение, нам необходимо вычислить корень n-ой степени из 2500.

1. Проверим, сколько раз числу 2500 можно применить операцию квадратного корня. Мы можем применить ее два раза, так как \(\sqrt{\sqrt{2500}} = \sqrt{50} = 5\).

Таким образом, у нас есть одно решение, когда \(n\) четное: \(x = 5\).

Теперь рассмотрим случай с нечетным n.

При нечетном n, уравнение выглядит так же:
\[x^n = 2500\]

2. Поскольку n нечетное, мы также можем найти одно решение, применив операцию корня четвертной степени к 2500.
\(\sqrt[3]{2500} = \sqrt[3]{50} = 2.924\)

Таким образом, в случае нечетного n, у нас есть одно решение: \(x \approx 2.924\).

Итак, в уравнении \({x}^{n} = 2500\), при четном n у нас есть одно решение \(x = 5\), а при нечетном n у нас есть одно решение \(x \approx 2.924\).