Каков закон движения точки, если ее скорость прямолинейного движения определяется формулой v=2сos(t)? Известно

Radusha

20

Для начала, давайте внимательно проанализируем данную задачу.

У нас есть точка, которая движется прямолинейно. Скорость этой точки определяется формулой \(v = 2сos(t)\), где \(v\) - скорость точки, \(t\) - время и \(с\) - постоянная величина. Момент времени, который нам дан, составляет \(t = \frac{\pi}{6}\). Также мы знаем, что точка находится на расстоянии \(s = 4\) метра от начала отсчета.

Чтобы найти закон движения точки, нам необходимо выразить \(s\) через \(t\). Для этого мы воспользуемся функцией \(v = \frac{ds}{dt}\), где \(\frac{ds}{dt}\) представляет собой производную от \(s\) по \(t\).

Итак, возьмем производную от \(s\) по \(t\):
\[\frac{ds}{dt} = 2 \cdot \frac{d(cos(t))}{dt}\]

Мы знаем, что \(\frac{d(cos(t))}{dt} = -sin(t)\), так как производная \(cos(t)\) равна \(-sin(t)\). Подставим это значение в наше уравнение:

\[\frac{ds}{dt} = 2 \cdot (-sin(t))\]

Теперь мы можем интегрировать оба выражения по переменной \(t\) для нахождения \(s\). Выполним это:

\[\int \frac{ds}{dt} dt = \int 2 \cdot (-sin(t)) dt\]

\[s = -2 \cdot \int sin(t) dt\]

Интеграл от \(sin(t)\) равен \(-cos(t)\), поэтому продолжим интегрирование:

\[s = -2 \cdot (-cos(t)) + C\]

Где \(C\) - постоянная интегрирования. Мы можем установить значение постоянной, используя условие, что при \(t = \frac{\pi}{6}\) точка находится на расстоянии \(s = 4\) метра от начала отсчета:

\[4 = -2 \cdot (-cos(\frac{\pi}{6})) + C\]

Дальнейшие расчеты позволяют нам определить значение постоянной \(C\):

\[4 = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + C\]
\[4 = \sqrt{3} + C\]
\[C = 4 - \sqrt{3}\]

Теперь мы можем написать окончательный закон движения точки:

\[s = -2 \cdot cos(t) + (4 - \sqrt{3})\]

Таким образом, закон движения точки задается уравнением \(s = -2 \cdot cos(t) + (4 - \sqrt{3})\).

Я надеюсь, что этот развернутый ответ помог вам понять задачу и решение. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!