Сколько решений имеет уравнение x⁴+9x²+4=0?

Yaroslav

26

Давайте решим данное уравнение пошагово:

1. Начнем с замены переменной: пусть \(y = x^2\), тогда уравнение примет вид \(y^2 + 9y + 4 = 0\).

2. Теперь решим новое квадратное уравнение. Решением любого квадратного уравнения вида \(ay^2 + by + c = 0\) является формула дискриминанта, которая задается следующим образом: \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = 9\), \(c = 4\). Подставим значения в формулу:

\[D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 81 - 16 = 65.\]

3. Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта, мы можем определить количество решений уравнения. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных рациональных корня. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один (или два совпадающих) рациональный корень. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет рациональных корней.

4. В нашем случае, \(D = 65\), что означает, что \(D > 0\). Следовательно, уравнение имеет два различных рациональных корня.

Таким образом, у уравнения \(x^4 + 9x^2 + 4 = 0\) есть два различных рациональных корня.