Чему равно 2 в степени n, если это равно 100, и 5 в степени k, если это равно 200?

Летучая_Мышь_3765

27

Для решения этой задачи, нам нужно найти значения переменных \(n\) и \(k\), при которых выполнены условия, то есть \(2^n = 100\) и \(5^k = 200\).

1. Найдем значение переменной \(n\):
Для этого мы хотим найти, к какой степени нужно возвести число 2, чтобы получить 100. Воспользуемся логарифмами, а именно логарифмом по основанию 2 (обозначается как \(\log_2\)):

\[2^n = 100\]
\[\log_2(2^n) = \log_2(100)\]
\[n = \log_2(100)\]

Теперь найдем значение \(\log_2(100)\):
Один из способов найти логарифм – разложить число 100 на множители степени 2:
\(100 = 2^2 \times 5^2\)
Следовательно, \(\log_2(100) = \log_2(2^2 \times 5^2)\)
Применяя свойство логарифма \(\log_a(x \times y) = \log_a(x) + \log_a(y)\), получаем:
\(\log_2(2^2 \times 5^2) = \log_2(2^2) + \log_2(5^2) = 2\log_2(2) + 2\log_2(5) = 2 + 2\log_2(5)\)
Значит, \(n = 2 + 2\log_2(5)\) (1)

2. Теперь найдем значение переменной \(k\):
Воспользуемся аналогичным подходом. Нам нужно найти, к какой степени нужно возвести число 5, чтобы получить 200. Снова воспользуемся логарифмами, но уже по основанию 5:

\[5^k = 200\]
\[\log_5(5^k) = \log_5(200)\]
\[k = \log_5(200)\]

Значение \(\log_5(200)\) нам нужно найти численно. Это значение можно приближенно рассчитать с помощью калькулятора или программы для работы с числами. Ответом будет результат вычисления \(\log_5(200)\).

Вот и все! Мы рассмотрели решение данной задачи, а именно, выразили \(n\) и \(k\) через логарифмы. Поэтому ответ будет зависеть от значения логарифма и будет представлять собой численное значение \(n\) и \(k\), полученное из формул (1) и (2).