Сколько способов может быть у юношей и девушек разместиться на 8 местах в кинотеатре, если девушки желают сидеть рядом?

Аида

14

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Предположим, что у нас есть 8 мест в кинотеатре, пронумерованных от 1 до 8 слева направо.

Вопрос состоит в том, сколько способов можно разместить юношей и девушек на этих местах, если девушки хотят сидеть рядом. Для начала определим, сколько мест нужно зарезервировать для девушек, чтобы они сидели рядом. Поскольку каждая пара девушек занимает 2 места, мы можем отдельно рассмотреть сколько пар девушек будет в кинотеатре.

Если в кинотеатре будет от 0 до 4 пар девушек, то сумма пар и оставшихся мест будет равна 8. Также стоит отметить, что все пары девушек должны сидеть рядом, поэтому они займут 2 места подряд.

Рассмотрим вариант без пар девушек. В этом случае все 8 мест могут быть заняты юношами. Количество способов рассадки юношей будет равно числу перестановок из 8 элементов, что можно вычислить по формуле \(8!\) (читается как "8 факториал").

Если в кинотеатре будет 1 пара девушек, у нас будет 7 оставшихся мест. Пара девушек может быть размещена на 7 разные способа (так как они должны сидеть рядом). Каждая пара девушек может выбрать свое место на одну из доступных балконок на 7 способа. Оставшиеся 6 юношей могут занять оставшиеся 6 мест на \(6!\) способов. Общее количество способов можно найти, перемножив количество способов перемножить пары девушек и количество способов разместить оставшихся юношей, то есть \(7 \times 6!\).

Аналогично, для 2, 3 или 4 пар девушек мы считаем количество способов и перемножаем его на количество способов расположения оставшихся юношей.

Общее количество способов размещения юношей и девушек можно получить, сложив количество способов во всех этих случаях. Таким образом, ответ на задачу будет равен

\[8! + 7 \times 6! + 6 \times 5! + 5 \times 4! + 4 \times 3!\]

Теперь давайте найдем точное значение для этого выражения и посчитаем его.