Сколько способов существует разрезать фигуру, состоящую из 17 клеток, на 8 прямоугольников размером 1 х 2 и один

Иван

53

Чтобы найти количество способов разрезать данную фигуру, состоящую из 17 клеток, на 8 прямоугольников размером 1 х 2 и один квадратик, мы можем использовать метод перебора или систематического подхода.

Метод перебора позволяет нам перебрать все возможные варианты разрезаний фигуры и посчитать их количество. Однако, этот метод может быть достаточно долгим и трудоемким.

Систематический подход основан на разбиении задачи на более мелкие подзадачи и использовании соответствующих математических концепций. Давайте воспользуемся им.

Для начала, попробуем разрезать фигуру таким образом, чтобы каждый прямоугольник размером 1 х 2 занимал две соседние клетки по горизонтали или вертикали. Остальные клетки будут занимать квадратик.

Рассмотрим возможные положения первого прямоугольника. Он может быть размещен в горизонтальном или вертикальном положении. Предположим, мы разместили его в горизонтальном положении. В этом случае у нас будут две группы клеток - одна группа из 15 клеток и одна группа из 2 клеток.

Далее, попробуем разрезать группу из 15 клеток на 7 прямоугольников размером 1 х 2 и один квадратик. У нас имеется 15 клеток, и каждый прямоугольник занимает 2 клетки. Получается, что у нас есть 7 пар клеток для размещения прямоугольников.

Используя такой же подход, можем приступить к рассмотрению группы из 2 клеток. В этом случае мы хотим разместить 1 прямоугольник размером 1 х 2 и квадратик. У нас имеется 2 клетки, и прямоугольник занимает 2 клетки. Следовательно, у нас есть только 1 пара клеток, которую можно использовать для размещения прямоугольника.

Теперь, чтобы найти общее количество способов разрезать фигуру, мы должны перемножить количество способов для каждой группы клеток в соответствии с правилом умножения.

Таким образом, общее количество способов разрезать фигуру из 17 клеток на 8 прямоугольников размером 1 х 2 и один квадратик будет равно количеству способов размещения прямоугольников в группе из 15 клеток (7 прямоугольников) умноженному на количество способов размещения прямоугольника в группе из 2 клеток (1 прямоугольник).

Посчитаем количество способов размещения прямоугольников в группе из 15 клеток. Мы можем использовать сочетания с повторениями для этого. Формула для сочетаний с повторениями выглядит следующим образом:

\[\text{Количество способов} = C(n + k - 1, k)\]

где \(n\) - количество объектов для выбора (клеток в группе), \(k\) - количество объектов, которые нужно выбрать (пар прямоугольников) и \(C(n + k - 1, k)\) - количество сочетаний с повторениями.

В нашем случае, \(n = 15\) и \(k = 7\). Подставим значения в формулу и вычислим:

\(\text{Количество способов размещения прямоугольников в группе из 15 клеток} = C(15 + 7 - 1, 7)\)

\(\text{Количество способов размещения прямоугольников в группе из 15 клеток} = C(21, 7)\)

Вычислим значение:

\(\text{Количество способов размещения прямоугольников в группе из 15 клеток} = \frac{{21!}}{{7! \cdot (21 - 7)!}}\)

Теперь посчитаем количество способов размещения прямоугольника в группе из 2 клеток. В этом случае у нас нет особой формулы, так как у нас есть только 1 пара клеток. Следовательно, количество способов размещения прямоугольников в группе из 2 клеток будет равно 1.

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления общего количества способов разрезать фигуру:

\(\text{Общее количество способов} = \text{Количество способов размещения прямоугольников в группе из 15 клеток} \cdot \text{Количество способов размещения прямоугольника в группе из 2 клеток}\)

Подставим значения и вычислим:

\(\text{Общее количество способов} = \frac{{21!}}{{7! \cdot (21 - 7)!}} \cdot 1\)

Вычислим значение:

\(\text{Общее количество способов} = \frac{{21!}}{{7! \cdot 14!}}\)

\(\text{Общее количество способов} = \frac{{21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14!}}{{7! \cdot 14!}}\)

\(\text{Общее количество способов} = \frac{{21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}}{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\)

\(\text{Общее количество способов} = 9,244,920\)

Таким образом, общее количество способов разрезать фигуру, состоящую из 17 клеток, на 8 прямоугольников размером 1 х 2 и один квадратик, равно 9,244,920.