Сколько способов выбрать 5 участников из 10 архитекторов, если один из них обязательно должен быть руководителем?

Александровна

3

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику и комбинаторную формулу "деление на факториал".

Сначала определим общее количество способов выбрать 5 участников из 10 архитекторов, не учитывая роль руководителя. Это можно сделать с помощью комбинаторного сочетания. Формула сочетаний выглядит следующим образом:
\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае, n = 10 (общее количество архитекторов), k = 5 (количество участников). Подставив значения в формулу сочетаний, получим:
\[C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!}\]
Чтобы упростить вычисления, можно заметить, что \(10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!\) и \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\). Заменив эти значения в формуле сочетаний, получим:
\[C(10, 5) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252\]
Таким образом, общее количество способов выбрать 5 участников из 10 архитекторов составляет 252.

Теперь рассмотрим вторую часть задачи, когда один из архитекторов обязательно должен быть руководителем. В данном случае, нам нужно выбрать 4 участника из оставшихся 9 архитекторов, так как 1 место уже занято руководителем. Снова используем формулу сочетаний:
\[C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!}\]
Подставим значения и упростим:
\[C(9, 4) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126\]
Таким образом, количество вариантов, в которых руководитель будет ехать, составляет 126.

Наконец, рассмотрим третий вариант, когда руководитель может или не может ехать. В этом случае, у нас есть две возможности: либо руководитель будет ехать (126 вариантов), либо руководитель не будет ехать. В первом случае, нам нужно выбрать 4 участника из оставшихся 9 архитекторов (как в предыдущем расчете). Во втором случае, нам нужно выбрать 5 участников из оставшихся 9 архитекторов:
\[C(9, 4) + C(9, 5) = 126 + \frac{9!}{5!4!} = 252 + 126 = 378\]
Таким образом, количество возможностей, где руководитель может или не может ехать, составляет 378.