Сколько способов выбрать 8 актеров для спектакля из театральной труппы, включающей 10 актеров первого плана

Молния

66

Для решения этой задачи, мы можем использовать комбинаторику и принцип умножения.

Сначала мы выбираем 3 актеров первого плана из 10 доступных актеров. Это можно сделать с помощью комбинации. Количество способов выбрать 3 актеров первого плана из 10 равно:
\[\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}\]

Далее, мы выбираем 5 актеров второго плана из 30 доступных актеров. Опять же, используем комбинацию для этого. Количество способов выбрать 5 актеров второго плана из 30 равно:
\[\binom{30}{5} = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30!}{5!25!}\]

Затем, чтобы найти общее количество способов выбрать 8 актеров для спектакля, мы должны перемножить количество способов выбрать актеров первого плана и актеров второго плана:
\[\binom{10}{3} \cdot \binom{30}{5} = \frac{10!}{3!7!} \cdot \frac{30!}{5!25!}\]

А теперь можно приступить к вычислениям: