В копилке у Полины лежат монеты по 2 рубля и по 5 рублей. Если все двухрублёвые монеты, которые лежат в копилке, будут

Марат

31

Пусть количество двухрублевых монет, которые лежат в копилке, равно \(x\), а количество пятирублевых монет равно \(y\). Тогда у нас есть два условия:

1) Если все двухрублевые монеты разложить в стопки по 8 монет, то получится две полные стопки и одна неполная. Это означает, что общее количество монет должно быть на 1 меньше, чем число, которое делится на 8 без остатка. Таким образом, мы можем записать это условие следующим образом: \(x = 8a - 1\), где \(a\) - целое число.

2) Если все пятирублевые монеты сложить в стопки по 7 монет, то получится одна полная стопка и одна неполная. Это означает, что общее количество монет должно быть на 1 меньше, чем число, которое делится на 7 без остатка. Таким образом, мы можем записать это условие следующим образом: \(y = 7b - 1\), где \(b\) - целое число.

Также по условию известно, что сумма двухрублевых монет равна сумме пятирублевых монет. Это означает, что \(2x = 5y\).

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для определения значения переменных \(x\) и \(y\).

Уравнение \(2x = 5y\) можно переписать в виде \(x = \frac{5}{2}y\). Подставим это выражение для \(x\) в первое условие и решим его:

\(\frac{5}{2}y = 8a - 1\)

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\(5y = 16a - 2\)

Теперь мы видим, что левая часть уравнения должна делиться на 5, чтобы правая часть также делилась на 5. Поэтому \(y\) должно быть кратно 5. Подставим \(y = 5c\) в уравнение:

\(5(5c) = 16a - 2\)

\(25c = 16a - 2\)

Теперь мы видим, что правая часть уравнения должна быть на 2 меньше кратной 5 числа. Поэтому \(16a\) должно быть на 2 больше кратного 5 числа. Рассмотрим возможные значения для \(a\): 1, 2, 3...

Подставим \(a = 1\) и найдем значение \(c\):

\(25c = 16 \cdot 1 - 2\)

\(25c = 14\)

\(c = \frac{14}{25}\)

Таким образом, при \(a = 1\) и \(c = \frac{14}{25}\) имеем решение \(x = 8a - 1 = 8 \cdot 1 - 1 = 7\) и \(y = 5c = 5 \cdot \frac{14}{25} = \frac{70}{25} = 2.8\).

Однако, по условию задачи \(x\) и \(y\) должны быть целыми числами, поэтому наше предположение \(a = 1\) неверно.

Попробуем другие значения для \(a\):

При \(a = 2\) имеем:

\(25c = 16 \cdot 2 - 2\)

\(25c = 30\)

\(c = \frac{30}{25} = 1.2\)

Таким образом, при \(a = 2\) и \(c = 1.2\) имеем решение \(x = 8a - 1 = 8 \cdot 2 - 1 = 15\) и \(y = 5c = 5 \cdot 1.2 = 6\).

Таким образом, нашли решение системы уравнений: \(x = 15\) и \(y = 6\).

Теперь осталось ответить на вопрос задачи. Общая сумма денег в копилке равна сумме произведений количества монет на их номиналы:

Сумма двухрублевых монет: \(2 \cdot 15 = 30\) рублей.

Сумма пятирублевых монет: \(5 \cdot 6 = 30\) рублей.

Следовательно, у Полины в копилке лежит 30 рублей.