Сколько сторон содержит правильный многоугольник, если каждый смежный угол составляет 1/9 общего угла многоугольника?

Suslik

46

Для решения этой задачи, давайте разберемся с определением правильного многоугольника. Правильным называется многоугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

Пусть у нас есть правильный многоугольник с \(n\) сторонами. Каждый смежный угол этого многоугольника составляет \(1/9\) от общего угла многоугольника.

Давайте представим, что мы прошли по стороне многоугольника, начиная с одной из его вершин. После полного оборота по многоугольнику мы должны оказаться в исходной вершине и у нас не должно быть никаких "остаточных" углов.

Поскольку каждый смежный угол составляет \(1/9\) от общего угла, то после одного полного оборота мы "пройдем" \(9\) смежных углов. Таким образом, общий угол многоугольника равен \(9\) смежным углам.

Теперь давайте обратимся к понятию суммы углов в многоугольнике. Сумма всех углов в многоугольнике (выраженная в градусах) равна \((n-2) \cdot 180^\circ\).

Однако, так как каждый смежный угол составляет \(1/9\) общего угла, то сумма всех смежных углов в многоугольнике (выраженная в градусах) равна \(9 \cdot ((n-2) \cdot 180^\circ)\).

Так как сумма всех углов в многоугольнике равна сумме всех смежных углов, получаем следующее равенство:

\((n-2) \cdot 180^\circ = 9 \cdot ((n-2) \cdot 180^\circ)\)

Мы можем сократить оба выражения на \((n-2) \cdot 180^\circ\), так как они являются ненулевыми. После этого у нас останется следующее равенство:

\(1 = 9\)

Итак, мы получили противоречие. Равенство \(1 = 9\) является ложным утверждением, поэтому задача не имеет решения.

Однако, важно отметить, что у нас был предположительный ход рассуждений, который показывает, что правильный многоугольник существовать не может. Это является интересным примером, который подчеркивает важность логического мышления и анализа в математике.