Какова площадь сечения прямой призмы АВС₁В₁С₁, у которой основание - прямоугольный треугольник, а длины катетов

Akula

52

Пусть плоскость АВС₁ наклонена к плоскости основания под углом \(\theta\). Чтобы найти площадь сечения прямой призмы, нужно найти площадь поверхности, где сечение происходит.

Для начала, давайте посмотрим на плоскость основания АВС₁. Это прямоугольный треугольник, у которого длины катетов АС и ВС₁ равны 4√6. Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Таким образом, площадь основания прямой призмы АВС₁В₁С₁ равна \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{6}\).

Теперь рассмотрим сечение прямой призмы. Найдем площадь этого сечения. Площадь сечения прямой призмы равна площади пересечения плоскости основания и плоскости, наклоненной под углом \(\theta\).

Площадь пересечения плоскостей можно вычислить, умножив длину сечения на ее ширину. Длина сечения - это длина границы сечения, которая равна периметру треугольника АВС₁. Ширина сечения - это высота треугольника АВС₁, опущенная на плоскость основания.

Для вычисления длины границы сечения треугольника применим теорему Пифагора. Так как плоскость АВС₁ наклонена, гипотенуза треугольника становится диагональю основания, то есть границей сечения.
\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)

Для того, чтобы определить высоту треугольника АВС₁, нужно применить тригонометрию.
\(h = b \sin{\theta}\)

Таким образом, площадь сечения равна \(S_{\text{сеч}} = c \cdot h\).

Вот этапы, от начала до конца:

1. Вычисляем площадь основания прямой призмы: \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{6}\).
2. Вычисляем длину границы сечения: \(c = \sqrt{(4\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{6})^2}\).
3. Вычисляем высоту треугольника АВС₁: \(h = 4\sqrt{6} \cdot \sin{\theta}\).
4. Вычисляем площадь сечения: \(S_{\text{сеч}} = c \cdot h\).

Надеюсь, это подробное и пошаговое решение поможет вам понять, как найти площадь сечения прямой призмы.