Сколько существует целых значений параметра а, при каждом из которых уравнение lg(x2 − 4x + 3) = lg(a + 4x) имеет

Ящерица_3062

55

Давайте решим данную задачу шаг за шагом:

Шаг 1: Найдем левую и правую части уравнения

Из уравнения lg(x^2 − 4x + 3) = lg(a + 4x) мы видим, что обе части содержат логарифмы с одинаковым основанием 10.

Шаг 2: Применим свойства логарифмов

Используя свойство логарифмов \( \log(a) - \log(b) = \log \left(\frac{a}{b}\right) \), мы можем записать уравнение следующим образом:

\( \log \left(\frac{x^2 − 4x + 3}{a + 4x}\right) = 0 \)

Так как логарифм равен 0 только когда аргумент логарифма равен 1, мы получаем:

\( \frac{x^2 − 4x + 3}{a + 4x} = 1 \)

Шаг 3: Приведем уравнение к квадратному виду

Умножим обе части уравнения на \( a + 4x \) для избавления от дроби:

\( x^2 − 4x + 3 = a + 4x \)

Теперь приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

\( x^2 - 8x + (3 - a) = 0 \)

Шаг 4: Найдем дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) определяется как \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем случае, \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 3 - a \), поэтому:

\( D = (-8)^2 - 4(1)(3 - a) \)
\( D = 64 - 12 + 4a \)
\( D = 52 + 4a \)

Шаг 5: Найдем условие, при котором уравнение имеет только одно решение

Когда уравнение имеет только одно решение, дискриминант равен нулю, то есть \( D = 0 \).

Подставляем \( D = 0 \) в уравнение:

\( 52 + 4a = 0 \)

Вычитаем 52 из обеих сторон:

\( 4a = -52 \)

Разделим обе части на 4:

\( a = -13 \)

Шаг 6: Проверка

Проверим, что при \( a = -13 \) уравнение имеет только одно решение.

Подставляем \( a = -13 \) в исходное уравнение:

\( \log(x^2 − 4x + 3) = \log(-13 + 4x) \)

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны только при равенстве аргументов, получаем:

\( x^2 − 4x + 3 = -13 + 4x \)

Упрощаем уравнение:

\( x^2 - 8x + 16 = 0 \)

Факторизуем уравнение:

\( (x - 4)^2 = 0 \)

Из полученного сведения видим, что \( x = 4 \). Подставляем x = 4 в исходное уравнение:

\( \log(4^2 - 4 \cdot 4 + 3) = \log(-13 + 4 \cdot 4) \)
\( \log(16 - 16 + 3) = \log(-13 + 16) \)
\( \log(3) = \log(3) \)

Таким образом, при \( a = -13 \) уравнение имеет только одно решение.

Ответ: Существует только одно целое значение параметра \( a = -13 \), при котором уравнение \( \log(x^2 − 4x + 3) = \log(a + 4x) \) имеет только одно решение.