Сколько существует четырехзначных натуральных чисел, в которых присутствуют ровно две разные цифры?

Тимур

34

Для того чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько этапов.

Шаг 1: Разбор случаев
Нам нужно найти количество четырехзначных натуральных чисел, в которых присутствуют ровно две разные цифры. Для этого мы можем рассмотреть несколько случаев:

Случай 1: Одна цифра повторяется два раза, а остальные две цифры разные.
Случай 2: Одна цифра повторяется три раза, а остальная цифра отличается.
Случай 3: Две разные цифры, повторяющиеся по одному разу каждая.

Шаг 2: Решение каждого случая
Давайте рассмотрим каждый случай по очереди и найдем количество чисел в каждом случае.

Случай 1: Одна цифра повторяется два раза, а остальные две цифры разные.
Для этого случая у нас есть 9 возможных цифр для выбора для повторяющейся цифры (1-9, исключая 0), и 9 возможных цифр для выбора для остальных двух разных цифр.
Таким образом, количество чисел в этом случае равно \(9 \cdot 9 = 81\).

Случай 2: Одна цифра повторяется три раза, а остальная цифра отличается.
Для этого случая у нас есть 9 возможных цифр для выбора для повторяющейся цифры и 9 возможных цифр для выбора для отличающейся цифры.
Таким образом, количество чисел в этом случае равно \(9 \cdot 9 = 81\).

Случай 3: Две разные цифры, повторяющиеся по одному разу каждая.
Для этого случая у нас есть 9 возможных цифр для выбора для первой цифры и 9 возможных цифр для выбора для второй цифры.
Таким образом, количество чисел в этом случае также равно \(9 \cdot 9 = 81\).

Шаг 3: Общее количество чисел
Чтобы найти общее количество чисел, мы складываем все найденные значения:

\(81 + 81 + 81 = 243\).

Ответ: Итак, существует 243 четырехзначных натуральных чисел, в которых присутствуют ровно две разные цифры.