Сколько существует подмножеств из трех четных и двух нечетных чисел во множестве {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}?

Солнечный_Берег

21

Для решения данной задачи, мы сначала должны определить, сколько всего четных и нечетных чисел содержится в данном множестве.

Множество {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} содержит 5 четных чисел (0, 2, 4, 6, 8) и 5 нечетных чисел (1, 3, 5, 7, 9).

Теперь нам нужно выбрать 3 четных числа из 5-ти и 2 нечетных числа из 5-ти и определить, сколько всего возможных комбинаций у нас будет.

Для выбора 3 четных чисел из 5-ти мы можем использовать сочетания из 5 по 3 (биномиальный коэффициент \({{5}\choose{3}}\)). Этот коэффициент определяется формулой:

\({{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где \(n!\) - это факториал числа n, определяющийся как произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

Подставим значения в формулу:

\({{5}\choose{3}} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{120}{12} = 10\).

Таким образом, мы можем выбрать 3 четных числа из 5-ти способами.

Аналогичным образом, мы можем выбрать 2 нечетных числа из 5-ти способами, то есть \({{5}\choose{2}} = 10\).

Наконец, чтобы определить общее количество подмножеств из трех четных и двух нечетных чисел, мы должны умножить количество возможных комбинаций выбора четных чисел на количество комбинаций выбора нечетных чисел:

\(10 \cdot 10 = 100\).

Таким образом, существует 100 различных подмножеств из трех четных и двух нечетных чисел в заданном множестве {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.