Найдите длину отрезка КВ, который является высотой треугольника АВС, если АВ = 32 см, АС = 16 см и СК

Chernyshka

33

Чтобы найти длину отрезка КВ, который является высотой треугольника АВС, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Давайте разберемся пошагово:

1. Если отрезок КВ является высотой треугольника АВС, то АК и ВК будут перпендикулярны к сторонам треугольника АВ и ВС соответственно.

2. Мы можем обозначить длину отрезков КА и КВ как x и y соответственно.

3. Заметим, что треугольникы АКВ и АСК подобны, так как у них есть два угла, равные друг другу (по углу при вершине) и одна пара сторон, пропорциональных друг другу (по стороне КА и стороне КС соответственно).

4. Используя данный факт о подобии треугольников, мы можем составить пропорции между соответствующими сторонами:

\[\frac{{АК}}{{АС}} = \frac{{КВ}}{{КС}}\]

5. Подставляя известные значения, получим:

\[\frac{{x}}{{16}} = \frac{{y}}{{15}}\]

6. Теперь нам нужно найти длину отрезка КВ. Мы знаем, что АВ = 32 см, поэтому можем записать:

\[х + y = 32\]

7. Решим систему уравнений, состоящую из построенных пропорций:

\[
\begin{{cases}}
\frac{{x}}{{16}} = \frac{{y}}{{15}} \\
x + y = 32
\end{{cases}}
\]

8. Давайте избавимся от дроби, умножив оба уравнения на 16 и 15 соответственно:

\[
\begin{{cases}}
15x = 16y \\
16x + 16y = 512
\end{{cases}}
\]

9. Выразим \(y\) из первого уравнения и подставим во второе:

\[
\begin{{cases}}
15x = 16y \\
16x + 16y = 512
\end{{cases}}
\]

\[
\begin{{cases}}
15x = 16 \cdot \frac{{15x}}{{16}} \\
16x + 16 \cdot \frac{{15x}}{{16}} = 512
\end{{cases}}
\]

\[
\begin{{cases}}
15x = 15x \\
16x + 15x = 512
\end{{cases}}
\]

\[
\begin{{cases}}
0 = 0 \\
31x = 512
\end{{cases}}
\]

10. Решим второе уравнение относительно \(x\):

\[31x = 512\]

\[x = \frac{{512}}{{31}}\]

11. Теперь мы знаем значение \(x\). Давайте найдем значение \(y\) с использованием первого уравнения:

\[y = \frac{{15x}}{{16}}\]

\[y = \frac{{15 \cdot \frac{{512}}{{31}}}}{{16}}\]

12. Подставим значения \(x\) и \(y\) в уравнение \(x + y = 32\) для проверки:

\[\frac{{512}}{{31}} + \frac{{15 \cdot \frac{{512}}{{31}}}}{{16}} = 32\]

\[32 = 32\]

13. Значение \(x\) и \(y\) удовлетворяют условию задачи. Таким образом, мы получили, что длина отрезка КВ, который является высотой треугольника АВС, равна \(\frac{{512}}{{31}}\) см.