Сколько существует вариантов выбрать четыре различные карточки с числами от 1 до 20 так, чтобы на этих карточках было

Bukashka

48

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем процесс на несколько шагов.

Шаг 1: Сколько всего различных способов выбрать 4 карточки из чисел от 1 до 20?
Для этого мы можем использовать комбинаторику. Количество способов выбрать 4 карточки из 20 можно определить с помощью формулы сочетаний. Формула сочетаний выглядит следующим образом:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество элементов, которые мы хотим выбрать, и \(!\) - факториал числа.

Применяя эту формулу к нашей задаче, получим:
\[C(20, 4) = \frac{{20!}}{{4!(20-4)!}} = \frac{{20!}}{{4! \cdot 16!}}\]

Шаг 2: Как определить количество способов выбрать 4 карточки с одинаковым количеством простых и составных чисел?
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим следующие факты:

- Из чисел от 1 до 20, у нас есть 8 простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) и 12 составных чисел (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20).
- Для того, чтобы иметь одинаковое количество простых и составных чисел среди 4 карточек, мы должны выбрать 2 простых числа и 2 составных числа, или 4 простых числа, или 4 составных числа.

Шаг 3: Вычисление числа способов выбрать 2 простых числа и 2 составных числа из 20 чисел.
У нас есть 8 простых чисел и 12 составных чисел. Мы должны выбрать 2 простых числа из 8 и 2 составных числа из 12. Это можно сделать так:
\[C(8, 2) \cdot C(12, 2)\]

Шаг 4: Вычисление числа способов выбрать 4 простых числа из 20 чисел или 4 составных числа из 20 чисел.
Мы имеем возможность выбрать 4 числа из 8 простых или 4 числа из 12 составных чисел. Это можно сделать так:
\[C(8, 4) + C(12, 4)\]

Шаг 5: Суммирование всех возможных случаев.
Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать 4 карточки с одинаковым количеством простых и составных чисел, нам нужно сложить результаты, полученные на шаге 3 и шаге 4:
\[C(8, 2) \cdot C(12, 2) + C(8, 4) + C(12, 4)\]

Выполним все вычисления:
\[C(8, 2) = \frac{{8!}}{{2!(8-2)!}} = \frac{{8!}}{{2! \cdot 6!}} = 28\]
\[C(12, 2) = \frac{{12!}}{{2!(12-2)!}} = \frac{{12!}}{{2! \cdot 10!}} = 66\]
\[C(8, 4) = \frac{{8!}}{{4!(8-4)!}} = \frac{{8!}}{{4! \cdot 4!}} = 70\]
\[C(12, 4) = \frac{{12!}}{{4!(12-4)!}} = \frac{{12!}}{{4! \cdot 8!}} = 495\]

Теперь можем суммировать:
\[28 \cdot 66 + 70 + 495 = 1848 + 70 + 495 = 2413\]

Ответ: Существует 2413 вариантов выбрать 4 различные карточки с числами от 1 до 20 так, чтобы на этих карточках было одинаковое количество простых и составных чисел.