Сколько существует возможных плоскостей, проходящих через 7 данных точек в пространстве, так, чтобы ни одна четверка

Загадочный_Лес

21

Эта задача называется задачей о семи точках в пространстве. Чтобы решить ее, мы можем использовать комбинаторный подход.

Для начала, давайте определим количество возможных плоскостей, которые могут быть образованы любыми тремя точками из нашего набора из семи точек. Мы можем выбрать три точки из семи по трем, используя сочетания:

\(\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35.\)

Таким образом, существует 35 плоскостей, которые могут быть образованы любыми тремя точками из нашего набора.

Однако, по условию задачи, ни одна четверка точек не должна лежать в одной плоскости. Поэтому, нам нужно проверить, есть ли такие четверки точек в нашем наборе, которые лежат в одной плоскости.

Рассмотрим все возможные четверки точек из семи и посчитаем количество плоскостей, образуемых каждой из них.

1) Выберем первые четыре точки из семи: \(\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35.\)
2) Выкинем первую точку и выберем следующие четыре точки: \(\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15.\)
3) Выкинем первые две точки и выберем следующие четыре точки: \(\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5.\)

Теперь сложим все полученные значения:

35 + 15 + 5 = 55.

Получается, что изначально было 35 плоскостей, образованных тремя точками, и 55 плоскостей, образованных четырьмя точками. Однако, в задаче мы ищем количество плоскостей, проходящих через все семь точек без четверок точек в одной плоскости. Поэтому, мы считаем только те плоскости, которые образованы всеми семью точками:

55 - 35 = 20.

Таким образом, существует 20 возможных плоскостей, которые проходят через 7 данных точек в пространстве, так чтобы ни одна четверка из них не лежала в одной плоскости.