Сколько существует возможных размещений из n+4 элементов по n-2?

Солнечная_Радуга

49

Хорошо! Чтобы решить эту задачу о размещениях, давайте сначала разберемся, что такое размещения.

Размещение - это набор объектов, в котором имеет значение порядок элементов. В данной задаче нам нужно определить, сколько возможных размещений из \(n + 4\) элементов по \(n - 2\).

Пошаговое решение:

Шаг 1: Для начала, нам нужно разобраться, что означают \(n + 4\) и \(n - 2\).

\(n + 4\) - это общее количество элементов, которое у нас есть.
\(n - 2\) - это количество элементов, которые мы должны разместить.

Шаг 2: Чтобы найти количество размещений, мы можем использовать формулу размещений:

\[A(n, k) = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\]

где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), равный произведению всех целых чисел от 1 до \(n\).

Шаг 3: Применяем формулу размещений к нашей задаче:

\[A(n + 4, n - 2) = \frac{{(n + 4)!}}{{(n + 4 - (n - 2))!}} = \frac{{(n + 4)!}}{{(n + 4 - n + 2)!}} = \frac{{(n + 4)!}}{{6!}}\]

Шаг 4: Упрощаем полученное выражение:

\[A(n + 4, n - 2) = \frac{{(n + 4) \cdot (n + 3) \cdot (n + 2) \cdot (n + 1) \cdot n!}}{{6!}}\]

Шаг 5: Мы можем упростить это дальше, поделив числитель на \(6!\):

\[A(n + 4, n - 2) = \frac{{(n + 4) \cdot (n + 3) \cdot (n + 2) \cdot (n + 1) \cdot n!}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Шаг 6: Сокращаем общие множители:

\[A(n + 4, n - 2) = \frac{{(n + 4) \cdot (n + 3) \cdot (n + 2) \cdot (n + 1)}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Шаг 7: В финальном шаге выполняем упрощение:

\[A(n + 4, n - 2) = \frac{{(n + 4)!}}{{6! \cdot 4!}}\]

Таким образом, количество возможных размещений из \(n + 4\) элементов по \(n - 2\) равно \(\frac{{(n + 4)!}}{{6! \cdot 4!}}\).