Сколько теплоты необходимо затратить, чтобы выполнить данный процесс, если давление постоянного количества идеального

Дождь

15

Данная задача связана с термодинамикой и требует рассчета теплоты, затраченной на изменение параметров системы. Для начала, давайте определим, какие у нас известные величины.

Исходные данные:
Давление газа \( P_1 = 10^5 \, \text{Па} \) (начальное давление)
Давление газа \( P_2 = 3 \times 10^5 \, \text{Па} \) (конечное давление)
Объём газа \( V_1 = 1 \, \text{м}^3 \) (начальный объём)
Объём газа \( V_2 = 2 \, \text{м}^3 \) (конечный объём)

Теплота \( Q \), затраченная на процесс, можно найти с помощью первого начала термодинамики, которое гласит, что изменение внутренней энергии системы равно сумме работы, совершенной над системой и теплоты, перешедшей в систему.

\[ \Delta U = Q - W \]

В данном случае работа \( W \) равна работе газа, совершенной при изменении его объема, так как давление изменяется. Для расчета работы мы можем использовать уравнение

\[ W = -\int_{V_1}^{V_2} P \, dV \]

где \( P \) - давление газа в зависимости от объема.

В данной задаче газ показывает линейную зависимость давления от объема. Поэтому можно использовать уравнение:
\[ P(V) = aV + b \]

где \( a \) и \( b \) - константы, которые можно найти, используя заданные условия.

Для нахождения \( a \) и \( b \) мы можем использовать известные значения давления и объема при начальном состоянии газа:
\[ P_1 = aV_1 + b \]

Подставляем значения:
\[ 10^5 = a \cdot 1 + b \]
\[ b = 10^5 - a \]

Аналогично для конечного состояния:
\[ 3 \times 10^5 = a \cdot 2 + b \]

Подставляем значение \( b \):
\[ 3 \times 10^5 = a \cdot 2 + (10^5 - a) \]
\[ 3 \times 10^5 = 2a + 10^5 - a \]
\[ 2a = 2 \times 10^5 \]
\[ a = 10^5 \]

Теперь, зная значения \( a \) и \( b \), мы можем получить выражение для давления \( P(V) \):
\[ P(V) = 10^5V + (10^5 - 10^5) \]
\[ P(V) = 10^5V \]

Теперь мы можем вычислить работу \( W \) для линейного изменения давления с объемом:
\[ W = -\int_{V_1}^{V_2} P(V) \, dV \]
\[ W = -\int_{V_1}^{V_2} 10^5V \, dV \]
\[ W = -10^5 \int_{V_1}^{V_2} V \, dV \]
\[ W = -10^5 \left[ \frac{1}{2} V^2 \right]_{V_1}^{V_2} \]
\[ W = -10^5 \left( \frac{1}{2} V_2^2 - \frac{1}{2} V_1^2 \right) \]
\[ W = -10^5 \left( \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right) \]
\[ W = -10^5 \left(2 - \frac{1}{2}\right) \]
\[ W = -10^5 \left( \frac{3}{2} \right) \]
\[ W = -1.5 \times 10^5 \, \text{джоулей} \]

Теперь, используя первое начало термодинамики, мы можем выразить теплоту \( Q \):
\[ \Delta U = Q - W \]
\\
Поскольку значение изменения внутренней энергии, \( \Delta U \), не задано в условии задачи, мы предполагаем, что процесс происходит при постоянной внутренней энергии. В таком случае, \( \Delta U = 0 \), тогда:
\[ 0 = Q - (-1.5 \times 10^5) \]
\[ Q = 1.5 \times 10^5 \, \text{джоулей} \]

Таким образом, необходимо затратить 150 000 джоулей теплоты на выполнение данного процесса, при условии, что внутренняя энергия системы остается неизменной.