Сколько точек пересечения имеют окружность с уравнением x2 + y2 = 25 и прямая, удаленная от начала координат

Raduzhnyy_Den_7620

24

Данная задача заключается в определении количества точек пересечения между окружностью и прямой. Для решения этой задачи нам понадобятся знания из геометрии и алгебры.

Начнем с определения уравнения окружности. Уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 = r^2\), где \(r\) - радиус окружности. В нашем случае, уравнение окружности будет выглядеть так: \(x^2 + y^2 = 25\).

Теперь рассмотрим прямую. Мы знаем, что эта прямая удалена от начала координат на 3 единицы. Значит, она имеет какую-то константу \(c\). Тогда уравнение прямой будет иметь вид \(y = mx + c\), где \(m\) - коэффициент наклона прямой.

Для определения количества точек пересечения, нам нужно найти значения \(x\), при которых уравнения окружности и прямой будут выполняться одновременно. Для этого сравним уравнения окружности и прямой:

\[
\begin{align*}
x^2 + y^2 &= 25 \\
y &= mx + c
\end{align*}
\]

Теперь подставим значение \(y\) из второго уравнения в первое:

\[
x^2 + (mx + c)^2 = 25
\]

Приведем это уравнение к квадратичному виду:

\[
x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 = 25
\]

Объединим все члены с \(x\) в одну группу:

\[
(1 + m^2)x^2 + 2mcx + (c^2 - 25) = 0
\]

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно \(x\). Оно имеет два корня, в зависимости от дискриминанта. Дискриминант \(D\) данного квадратного уравнения определяется формулой \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае:

\[
a = 1 + m^2, \quad b = 2mc, \quad c = c^2 - 25
\]

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня и, следовательно, окружность и прямая пересекаются в двух точках. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень и пересечение происходит в одной точке. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней и следовательно, окружность и прямая не пересекаются.

Надеюсь, что данный шаг за шагом анализ помог вам понять, как решить эту задачу.