Докажите, что в четырехугольнике ABCD точки M, N, K и L являются серединами сторон AB, BC, CD и AD соответственно

Звездный_Снайпер_612

21

Для доказательства равенства суммы векторов OA + OB + OC + OD нулю в четырехугольнике ABCD, мы воспользуемся свойствами прямых и серединных отрезков.

Первым шагом, давайте обратимся к определению точек M, N, K и L как середин сторон четырехугольника ABCD. Точка M является серединой стороны AB, это значит, что AM = MB. Аналогично, точка N является серединой стороны BC, К - серединой стороны CD и точка L - серединой стороны AD.

Теперь взглянем на точку O, в которой пересекаются прямые MK и LN. По определению, прямая MK проходит через точку M (середину AB) и точку К (середину CD), а прямая LN проходит через точку L (середину AD) и точку N (середину BC).

Вспомним одно из свойств серединных отрезков: если положить точку O на середину прямого отрезка MN, то мы получим середину отрезка MK. Аналогично, точка O также будет являться серединой прямого отрезка LN.

Теперь, рассмотрим сумму векторов OA + OB + OC + OD. Заметим, что вектор OA направлен из точки O в точку A, OB - из O в B, OC - из O в C и OD - из O в D.

Используя свойство прямых и серединных отрезков, мы можем записать следующие равенства векторов:

OA = OM + MA
OB = ON + NB
OC = OK + KC
OD = OL + LD

Так как M, N, K и L являются серединами соответствующих сторон четырехугольника ABCD, то имеем:

MA = MB
NB = NC
KC = KD
LD = LA

С учетом этих равенств, мы можем переписать сумму векторов:

OA + OB + OC + OD = (OM + MA) + (ON + NB) + (OK + KC) + (OL + LD)

Заметим, что равенства MA = MB, NB = NC, KC = KD и LD = LA позволяют нам объединить некоторые слагаемые:

OA + OB + OC + OD = (OM + MB) + (ON + NC) + (OK + KD) + (OL + LA)

Теперь выделим скобки:

OA + OB + OC + OD = (OM + ON + OK + OL) + (MB + NC + KD + LA)

Обратим внимание, что векторы MB + NC + KD + LA представляют собой замкнутый маршрут по четырехугольнику ABCD, так как они образуют цепочку их середин, идущих последовательно от стороны к стороне.

Таким образом, обозначим эту замкнутую цепочку векторов MB + NC + KD + LA как 0. Мы можем это сделать, так как это замкнутый маршрут, где векторы, направленные в одну сторону, компенсируют векторы, направленные в противоположную сторону.

Теперь наша сумма векторов принимает следующий вид:

OA + OB + OC + OD = OM + ON + OK + OL + 0

Очевидно, что сумма векторов равна нулевому вектору, так как векторы OM, ON, OK и OL являются векторами, проведенными от точки O (пересечения прямых MK и LN) до середин соответствующих сторон четырехугольника ABCD.

Таким образом, мы доказали, что сумма векторов OA + OB + OC + OD равна нулю в четырехугольнике ABCD.