Сколько точек пересечения у прямой у=5х-1 с параболой у=2х^2-x? Изменение координат вершины для параболы у=-2х+6х-1?

Светлый_Ангел

33

Для решения этой задачи нам нужно найти точки пересечения прямой \(у = 5х - 1\) с параболой \(у = 2х^2 - х\).

1. Найдем точки пересечения:

Для этого мы должны приравнять два выражения:

\[5х - 1 = 2х^2 - х\]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\[2х^2 - х - 5х + 1 = 0\]

Упростим:

\[2х^2 - 6х + 1 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение. Чтобы найти корни, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

В данном случае, у нас:

\[a = 2, b = -6, c = 1\]

Вычислим дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 36 - 8 = 28\]

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу:

\[х = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Подставим значения:

\[х = \frac{{6 \pm \sqrt{28}}}{{4}}\]

Упростим:

\[х = \frac{{6 \pm 2\sqrt{7}}}{{4}}\]

Если у нас есть только одна точка пересечения, это будет один корень уравнения. Если у нас есть две точки пересечения, это будут два корня уравнения. Давайте продолжим решение:

\[х_1 = \frac{{6 + 2\sqrt{7}}}{{4}}\]

\[х_2 = \frac{{6 - 2\sqrt{7}}}{{4}}\]

Таким образом, прямая \(у = 5х - 1\) пересекает параболу \(у = 2х^2 - х\) в двух точках: \(\left(\frac{{6 + 2\sqrt{7}}}{{4}}, 5 \cdot \frac{{6 + 2\sqrt{7}}}{{4}} - 1\right)\) и \(\left(\frac{{6 - 2\sqrt{7}}}{{4}}, 5 \cdot \frac{{6 - 2\sqrt{7}}}{{4}} - 1\right)\).

2. Чтобы найти изменение координат вершины параболы \(у = -2х^2 + 6х - 1\), мы знаем, что вершина имеет формулу \(\left(\frac{{-b}}{{2a}}, f\left(\frac{{-b}}{{2a}}\right)\right)\), где \(a = -2\) и \(b = 6\).

Вычислим:

\[x = \frac{{-6}}{{2 \cdot -2}} = \frac{{-6}}{{-4}} = \frac{{3}}{{2}}\]

Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке:

\[у = -2 \cdot \left(\frac{{3}}{{2}}\right)^2 + 6 \cdot \left(\frac{{3}}{{2}}\right) - 1\]

Упростим:

\[у = -2 \cdot \frac{{9}}{{4}} + 9 - 1\]

\[у = -\frac{{9}}{{2}} + 9 - 1\]

\[у = -\frac{{9}}{{2}} + 8\]

\[у = \frac{{7}}{{2}}\]

Таким образом, изменение координат вершины для параболы \(у = -2х^2 + 6х - 1\) равно \(\left(\frac{{3}}{{2}}, \frac{{7}}{{2}}\right)\).

3. Чтобы найти максимальное значение функции \(у = -3х^2 - 12х - 8\), мы можем использовать вершину параболы. В предыдущем ответе мы уже нашли, что вершина параболы имеет координаты \(\left(\frac{{3}}{{2}}, \frac{{7}}{{2}}\right)\). Таким образом, максимальное значение функции будет достигаться в этой точке.

Если мы подставим \(x = \frac{3}{2}\) в уравнение функции, мы найдем максимальное значение:

\[у = -3 \cdot \left(\frac{{3}}{{2}}\right)^2 - 12 \cdot \left(\frac{{3}}{{2}}\right) - 8\]

Упростим:

\[у = -3 \cdot \frac{{9}}{{4}} - 18 - 8\]

\[у = -\frac{{27}}{{4}} - 18 - 8\]

\[у = -\frac{{27}}{{4}} - \frac{{72}}{{4}} - \frac{{32}}{{4}}\]

\[у = -\frac{{131}}{{4}}\]

Таким образом, максимальное значение функции \(у = -3х^2 - 12х - 8\) равно \(-\frac{{131}}{{4}}\).