Сколько точек являются пересечениями 11 прямых, из которых ни одна пара не является параллельными, если точно известно

Lazernyy_Reyndzher

60

Для решения данной задачи нам понадобится использовать комбинаторику и принцип включения-исключения.

Пусть у нас имеется 11 прямых.

По условию задачи, 5 из этих прямых пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой A.

Затем никакие 3 другие прямые не создают общую точку.

Построим таблицу, в которой строки соответствуют количеству прямых, пересекающихся в одной точке, а столбцы - количеству прямых, которые не создают общей точки:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \binom{4}{1} \\
\hline
2 & 0 & 0 & 0 & \binom{3}{2} & \binom{4}{2} \\
\hline
3 & 0 & 0 & \binom{2}{1} & \binom{3}{1} & \binom{4}{3} \\
\hline
4 & 0 & \binom{1}{1} & \binom{2}{1} & \binom{3}{2} & \binom{4}{4} \\
\hline
5 & 0 & \binom{1}{1} & \binom{2}{1} & \binom{3}{2} & \binom{4}{4} \\
\hline
6 & 0 & 0 & \binom{2}{1} & \binom{3}{1} & \binom{4}{3} \\
\hline
7 & 0 & 0 & 0 & \binom{3}{2} & \binom{4}{2} \\
\hline
8 & 0 & 0 & 0 & 0 & \binom{4}{1} \\
\hline
9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
11 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

В данной таблице мы можем вычислить число пересечений прямых следующим образом:

1. Пересечения 0 прямых - это 0 точек.
2. Пересечения 1 прямых - это 0 точек.
3. Пересечения 2 прямых - это \(\binom{4}{2} = 6\) точек.
4. Пересечения 3 прямых - это \(\binom{3}{1} = 3\) точки.
5. Пересечения 4 прямых - это \(\binom{3}{2} = 3\) точки.
6. Пересечения 5 прямых - это \(\binom{4}{4} = 1\) точка.

Итак, суммируя все значения, получаем общее количество точек пересечения прямых:

\(0 + 0 + 6 + 3 + 3 + 1 = 13\).

Таким образом, искомое количество точек, являющихся пересечениями 11 прямых, равно 13.