Сколько участников принимало участие в шахматном турнире, где каждый играет один раз с каждым и было сыграно 91 партия?

Mango

43

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать метод комбинаторики, а именно формулу для подсчета количества сочетаний.

В данном случае, нам нужно определить, сколько участников принимало участие в шахматном турнире, где каждый играл один раз с каждым. Общее количество партий равно 91.

Давайте предположим, что в турнире участвовало N участников. Каждый участник был обязан сыграть с каждым из остальных участников, и всякий раз такая партия учитывается только один раз. Таким образом, каждый участник сыграл (N - 1) партий. Чтобы определить общее количество партий равное 91, нужно подсчитать, сколько раз было проведено партий (N - 1) и умножить это число на количество участников. То есть:

\[(N - 1) \cdot N = 91\]

Раскроем скобки, получим:

\[N^2 - N = 91\]

Данное уравнение может быть записано в квадратном виде:

\[N^2 - N - 91 = 0\]

Чтобы найти значения N, необходимо решить это квадратное уравнение. Можем воспользоваться формулой дискриминанта. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

Для квадратного уравнения \(N^2 - N - 91 = 0\) коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны 1, -1 и -91 соответственно. Подставим значения в формулу:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-91) = 1 + 364 = 365\]

Теперь найдем значение \(N\) используя формулу для дискриминанта и его корней:

\[N = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения в формулу:

\[N = \frac{-(-1) \pm \sqrt{365}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{365}}{2}\]

Вычислим корни:

\[N_1 = \frac{1 + \sqrt{365}}{2} \approx 13.64, \quad N_2 = \frac{1 - \sqrt{365}}{2} \approx -12.64\]

Так как мы говорим о количестве участников, количество не может быть отрицательным. Поэтому участников могло быть около 13 или около 14. Но так как количество участников должно быть натуральным числом, то количество участников в шахматном турнире равно 14.

Итак, в шахматном турнире принимало участие 14 участников.