Сколько вариантов башен может построить Миша, используя кубики двух разных цветов и не превышая 14 кубиков каждого

Андрей

56

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип комбинаторики - принцип умножения. Давайте разобьем задачу на несколько шагов:

Шаг 1: Рассмотрим отдельно количество возможных вариантов башен, которые можно построить с использованием кубиков одного цвета.

У нас есть два разных цвета кубиков, поэтому для каждого цвета рассмотрим его возможное количество кубиков в башне. Максимальное количество кубиков каждого цвета, которое мы можем использовать, равно 14.

При использовании только кубиков одного цвета, мы можем построить башни с 1, 2, 3 и т. д. кубиками. Итак, существует 14 возможных вариантов башен, каждая из которых использует один кубик выбранного цвета, также существует 13 возможных вариантов башен, каждая из которых использует два кубика выбранного цвета, и так далее, до 1 возможного варианта башни, использующей все 14 кубиков выбранного цвета.

Всего для каждого цвета у нас получается сумма арифметической прогрессии от 1 до 14. Чтобы вычислить эту сумму мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n),\]
где \(S\) - сумма, \(n\) - количество элементов (количество кубиков), \(a_1\) - первый элемент (1 кубик), \(a_n\) - последний элемент (14 кубиков).

Применяя эту формулу к каждому цвету, мы получаем:
Для первого цвета: \(S_1 = \frac{14}{2}(1 + 14) = 7 \cdot 15 = 105\) возможных вариантов башен.
Для второго цвета: \(S_2 = \frac{14}{2}(1 + 14) = 7 \cdot 15 = 105\) возможных вариантов башен.

Шаг 2: Теперь определим количество возможных комбинаций башен, которые можно построить, используя одновременно оба цвета кубиков.

Для этого мы просто перемножаем количество возможных вариантов башен для каждого цвета:
\(S_{общ} = S_1 \cdot S_2 = 105 \cdot 105 = 11025\) возможных комбинаций башен.

Итак, ответ на задачу: Миша может построить 11 025 различных башен, используя кубики двух разных цветов и не превышая 14 кубиков каждого цвета.

Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам понять решение задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.