Сколько вариантов различных башен из 8 этажей можно построить, если каждый следующий этаж может иметь столько

Svetik

56

Данная задача относится к комбинаторике и связана с созданием башен из кубиков. Чтобы определить количество вариантов различных башен из 8 этажей, удовлетворяющих данным условиям, мы можем использовать метод динамического программирования.

Для начала, мы можем рассмотреть каждый этаж отдельно. Пусть \(D(k)\) будет общим количеством вариантов возможных башен высоты \(k\). Для того, чтобы построить башню высотой \(k\), мы можем разместить на последнем этаже от 1 до \(k\) кубиков.

Теперь рассмотрим каждую высоту от 1 до 8 и найдем количество вариантов башен для каждой из них.

1) Для высоты 1 - \(D(1) = 1\), так как есть только один способ построить башню высотой 1, состоящую из одного кубика.

2) Для высоты 2 - \(D(2) = 2\), так как мы можем либо разместить 2 кубика на одном этаже, либо разместить по 1 кубику на каждом этаже.

3) Для высоты 3 - \(D(3) = 4\), так как мы можем разместить 3 кубика на одном этаже, разместить 2 кубика на одном этаже и 1 на другом, разместить 1 кубик на одном этаже и 2 на другом, либо разместить по 1 кубику на каждом этаже.

4) Для высоты 4 - \(D(4) = 8\), так как мы можем разместить 4 кубика на одном этаже, разместить 3 и 1 кубик на двух разных этажах, разместить 2 и 2 кубика на двух разных этажах, разместить 1 и 3 кубика на двух разных этажах, разместить по 2 кубика на двух разных этажах, разместить по 1 кубику на двух разных этажах, или разместить по 1 кубику на четырех разных этажах.

5) Для высоты 5 - \(D(5) = 16\), так как мы можем разместить 5 кубиков на одном этаже, разместить 4 и 1 кубик на двух разных этажах, разместить 3 и 2 кубика на двух разных этажах, разместить 2 и 3 кубика на двух разных этажах, разместить 1 и 4 кубика на двух разных этажах, либо разместить по 1, 2 и 2 кубика на трех разных этажах.

6) Для высоты 6 - \(D(6) = 32\), так как мы можем разместить 6 кубиков на одном этаже, разместить 5 и 1 кубик на двух разных этажах, разместить 4 и 2 кубика на двух разных этажах, разместить 3 и 3 кубика на двух разных этажах, разместить 2 и 4 кубика на двух разных этажах, либо разместить по 1, 1 и 4 кубика на трех разных этажах.

7) Для высоты 7 - \(D(7) = 64\), так как мы можем разместить 7 кубиков на одном этаже, разместить 6 и 1 кубик на двух разных этажах, разместить 5 и 2 кубика на двух разных этажах, разместить 4 и 3 кубика на двух разных этажах, разместить 3 и 4 кубика на двух разных этажах, разместить 2 и 5 кубиков на двух разных этажах, либо разместить по 1, 1 и 5 кубиков на трех разных этажах.

8) Для высоты 8 - \(D(8) = 128\), так как мы можем разместить 8 кубиков на одном этаже, разместить 7 и 1 кубик на двух разных этажах, разместить 6 и 2 кубика на двух разных этажах, разместить 5 и 3 кубика на двух разных этажах, разместить 4 и 4 кубика на двух разных этажах, разместить 3 и 5 кубиков на двух разных этажах, разместить 2 и 6 кубиков на двух разных этажах, либо разместить по 1, 1 и 6 кубиков на трех разных этажах.

Таким образом, общее количество вариантов возможных башен высотой 8, удовлетворяющих условиям задачи, равно сумме всех найденных значений:
\[D(8) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255.\]

Итак, существует 255 различных вариантов башен высотой 8 из кубиков, удовлетворяющих условиям задачи.