Сколько вариантов выбрать 9 шаров из 30 шаров, так чтобы в каждом варианте было по 3 шара каждого цвета?

Звездная_Тайна

29

Данная задача относится к комбинаторике и более конкретно к перестановкам с повторениями. Мы должны выбрать 9 шаров из 30, при условии, что в каждом варианте выбора будет по 3 шара каждого цвета. Давайте разберем эту задачу пошагово.

Первым шагом мы можем выбрать 3 шара одного цвета. У нас есть 30 шаров и мы можем выбрать 3 шара одного цвета из них. Это можно сделать \(\binom{30}{3}\) способами. В этой формуле \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент, который равен общему числу способов выбрать \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов.

Поскольку у нас есть 3 цвета, то мы можем выбрать шары каждого цвета по отдельности. То есть для каждого цвета мы выберем 3 шара.

Теперь мы должны посчитать общее количество вариантов выбора 3 шаров каждого цвета. Так как выбор каждого цвета осуществляется независимо, мы можем просто перемножить количество способов выбора 3 шаров каждого цвета.

Таким образом, общее количество вариантов выбрать 9 шаров из 30 шаров, так чтобы в каждом варианте было по 3 шара каждого цвета, равно:

\[\binom{30}{3} \cdot \binom{30}{3} \cdot \binom{30}{3} = \binom{30}{3}^3\]

Теперь давайте рассчитаем это значение:

\[\binom{30}{3}^3 = \frac{30!}{3! \cdot (30-3)!}^3\]

\[\binom{30}{3}^3 = \frac{30!}{3! \cdot 27!}^3\]

\[\binom{30}{3}^3 = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27!}{3! \cdot 27!}^3\]

\[\binom{30}{3}^3 = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3!}\]

Теперь, если мы рассчитаем данное выражение, мы получим окончательный ответ:

\[\frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3!} \approx 406,560\]

Таким образом, существует около 406,560 вариантов выбрать 9 шаров из 30 шаров, так чтобы в каждом варианте было по 3 шара каждого цвета.