Сколько вершин у выпуклого многоугольника, если число его диагоналей в 7 раз превышает количество его сторон?

Mila

17

Чтобы решить эту задачу, давайте представим, что у нас есть выпуклый многоугольник. Мы знаем, что многоугольник имеет некоторое количество сторон и диагоналей.

Пусть \(n\) - это количество сторон в многоугольнике. Теперь давайте посмотрим на количество диагоналей в многоугольнике.

Количество диагоналей в многоугольнике можно рассчитать с помощью формулы \(D = \frac{n(n-3)}{2}\), где \(D\) - количество диагоналей, а \(n\) - количество сторон в многоугольнике.

Согласно условию задачи, мы знаем, что количество диагоналей в 7 раз превышает количество сторон. Мы можем записать это в виде уравнения: \(D = 7n\).

Теперь, заменим \(D\) в уравнении нашей формулы для количества диагоналей и получим: \(\frac{n(n-3)}{2} = 7n\).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \( \frac{n^2 - 3n}{2} = 7n\).

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей: \(n^2 - 3n = 14n\).

Теперь приведем все слагаемые в уравнении к одной стороне: \(n^2 - 17n = 0\).

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, разложив его на множители: \(n(n-17) = 0\).

Таким образом, мы получили два возможных значения для \(n\): \(n = 0\) или \(n = 17\).

Однако, в контексте нашей задачи, \(n\) - количество сторон в многоугольнике, поэтому \(n\) не может быть равно 0. Значит, решением нашей задачи является \(n = 17\).

Таким образом, выпуклый многоугольник имеет 17 сторон.