Сколько восьмизначных натуральных чисел существует, у которых все цифры, кроме первой и последней, равны произведению

Загадочный_Парень

25

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Будем обозначать восьмизначное число следующим образом: \(abcdefgh\), где первая цифра - \(a\), вторая - \(b\), и так далее до восьмой цифры - \(h\).

2. У нас есть два ограничения: все цифры, кроме первой и последней, должны быть равны произведению соседних с ними цифр, и все числа - натуральные.

3. Разберем первое ограничение: \(b = a \times c\), \(c = b \times d\), \(d = c \times e\), \(e = d \times f\), \(f = e \times g\), \(g = f \times h\).

4. Теперь давайте разберемся со вторым ограничением, что все числа должны быть натуральными.

4.1. Для цифры \(a\) ограничений нет, поскольку она может быть любой натуральной цифрой от 1 до 9.

4.2. Рассмотрим цифру \(b\). Так как \(b = a \times c\), \(c\) также должно быть натуральным числом. Таким образом, \(b\) может быть любой натуральной цифрой от 1 до 9, и \(c\) - любой натуральной цифрой от 1 до 9.

4.3. Продолжаем этот процесс для остальных соседних цифр: \(d\) может быть любой натуральной цифрой от 1 до 9, \(e\) - любой натуральной цифрой от 1 до 9, \(f\) - любой натуральной цифрой от 1 до 9, \(g\) - любой натуральной цифрой от 1 до 9.

4.4. Для цифры \(h\) ситуация интереснее. Так как \(g = f \times h\), \(h\) также должно быть натуральным числом. Давайте рассмотрим все возможные варианты:
- Если \(g = 1\), тогда \(h\) может быть любой натуральной цифрой от 1 до 9.
- Если \(g = 2\), тогда \(h\) может быть только 2.
- Если \(g = 3\), тогда \(h\) может быть только 1 или 3.
- Если \(g = 4\), тогда \(h\) может быть только 1 или 4.
- Если \(g = 5\), тогда \(h\) может быть только 1 или 5.
- Если \(g = 6\), тогда \(h\) может быть только 1 или 6.
- Если \(g = 7\), тогда \(h\) может быть только 1 или 7.
- Если \(g = 8\), тогда \(h\) может быть только 1 или 8.
- Если \(g = 9\), тогда \(h\) может быть только 1 или 9.

5. Теперь, применяя все возможные значения для цифр \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\), \(g\) и \(h\), найдем количество восьмизначных натуральных чисел, удовлетворяющих нашим условиям.

- Для \(a\) есть 9 возможностей (от 1 до 9).
- Для \(b\) и \(c\) есть 2 возможности (от 1 до 9).
- Для \(d\), \(e\), \(f\), \(g\) и \(h\) есть 9 возможностей (от 1 до 9).

6. Умножим количество возможностей для каждой цифры и получим общее количество восьмизначных натуральных чисел:

\(9 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 373,968\)

Таким образом, существует 373,968 восьмизначных натуральных чисел, у которых все цифры, кроме первой и последней, равны произведению соседних с ними цифр.