Сколько возможно организовать команд из 24 пятиклассников, 30 шестиклассников и 36 семиклассников, если в каждой

Кузя

69

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику.

Для начала, нам необходимо выяснить, какое количество учащихся должно быть в каждой команде. Поскольку у нас есть по 24 пятиклассника, 30 шестиклассников и 36 семиклассников, то наименьшее количество учащихся, которое должно быть в каждой команде, это наименьшее общее кратное чисел 24, 30 и 36, то есть 360.

Теперь, когда мы знаем, что в каждой команде должно быть ровно 360 учащихся, мы можем рассмотреть возможные комбинации классов в каждой команде.

Чтобы найти количество возможных команд, мы должны разделить каждое из общих чисел учащихся на 360 и просуммировать результаты. Давайте разобъем эту задачу на три части:

1. Для команд из пятиклассников:
У нас есть 24 пятиклассника, и нам нужно выбрать определенное количество из них, чтобы сумма была кратна 360. Поскольку у нас есть только 24 пятиклассника, мы можем выбрать от 0 до 24 пятиклассников в команде. Мы можем просто перечислить все возможные комбинации, чтобы найти количество команд:
- 0 пятиклассников: 1 команда (поскольку это единственная команда без пятиклассников)
- 1 пятый класс: 24 команды (поскольку мы можем выбрать любого из 24 пятиклассников для команды)
- 2 пятых классов: 276 команд (потому что есть \(\binom{24}{2} = 276\) способов выбрать 2 пятиклассника)
- 3 пятикласса: 2024 команды (\(\binom{24}{3} = 2024\))
- 4 пятикласса: 10,626 команд (\(\binom{24}{4} = 10,626\))
- 5 пятых классов: 42,504 команды (\(\binom{24}{5} = 42,504\))

2. Для команд из шестиклассников:
Аналогично, мы можем рассмотреть возможные комбинации выбора шестиклассников для каждой команды:
- 0 шестиклассников: 1 команда
- 1 шестой класс: 30 команд
- 2 шестых класса: 435 команд (\(\binom{30}{2} = 435\))
- 3 шестых класса: 4,950 команд (\(\binom{30}{3} = 4,950\))
- 4 шестых класса: 39,270 команд (\(\binom{30}{4} = 39,270\))
- 5 шестых классов: 237,300 команд (\(\binom{30}{5} = 237,300\))
- 6 шестых классов: 1,068,300 команд (\(\binom{30}{6} = 1,068,300\))

3. Для команд из семиклассников:
Аналогично:
- 0 семиклассников: 1 команда
- 1 седьмой класс: 36 команд
- 2 седьмых класса: 630 команд (\(\binom{36}{2} = 630\))
- 3 седьмых класса: 7,280 команд (\(\binom{36}{3} = 7,280\))
- 4 седьмых класса: 59,535 команд (\(\binom{36}{4} = 59,535\))
- 5 седьмых классов: 395,010 команд (\(\binom{36}{5} = 395,010\))
- 6 седьмых классов: 2,176,782 команды (\(\binom{36}{6} = 2,176,782\))
- 7 седьмых классов: 9,855,600 команд (\(\binom{36}{7} = 9,855,600\))

Теперь мы можем просуммировать все результаты, чтобы найти общее количество возможных команд:

\(1 + 24 + 276 + 2024 + 10,626 + 42,504 + 1 + 30 + 435 + 4,950 + 39,270 + 237,300 + 1 + 36 + 630 + 7,280 + 59,535 + 395,010 + 2,176,782 + 9,855,600 = 12,650,848\)

Таким образом, возможно организовать 12,650,848 команд из пятиклассников, шестиклассников и семиклассников, так чтобы в каждой команде было одинаковое количество учащихся из каждого класса.