Какова вероятность того, что среди 5 солдатиков, посаженных в машинку случайным образом из 20 солдатиков Пети, окажется

Leonid

9

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить комбинаторику и вероятность.

Для начала, давайте посчитаем общее число возможных вариантов выбора 5 солдатиков из 20. Для этого воспользуемся формулой сочетания:

\[{C_n^k} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

где \(C_n^k\) - число сочетаний из n элементов по k элементов, а \(n!\) - факториал числа n (произведение всех натуральных чисел от 1 до n).

В данном случае у нас n = 20 (общее число доступных солдатиков) и k = 5 (количество выбранных солдатиков):

\[{C_{20}^5} = \frac{{20!}}{{5!(20-5)!}}\]

Подставим значение в формулу и вычислим:

\[{C_{20}^5} = \frac{{20!}}{{5! \cdot 15!}} = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[{C_{20}^5} = \frac{{15504}}{{120}} = 129\]

Таким образом, общее число возможных вариантов выбора 5 солдатиков из 20 равно 129.

Теперь нам нужно посчитать число благоприятных исходов, то есть количество случаев, когда среди выбранных 5 солдатиков будет ровно 3 оловянных.

У нас есть 20 солдатиков Пети, и среди них ровно 3 оловянных. Мы можем выбрать 3 оловянных солдатика из 3 оловянных солдатиков, а остальные 2 места заполнить любыми другими солдатиками из оставшихся (17) неоловянных солдатиков.

Посчитаем количество благоприятных исходов:

\[{C_3^3} \cdot {C_{17}^2} = 1 \cdot \frac{{17!}}{{2! \cdot (17-2)!}} = 1 \cdot \frac{{17!}}{{2! \cdot 15!}} = \frac{{17 \cdot 16}}{{2 \cdot 1}} = 136\]

Теперь, чтобы получить вероятность, мы должны разделить число благоприятных исходов на общее число возможных вариантов. Вероятность будет равна:

\[\frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее число возможных вариантов}}}} = \frac{{136}}{{129}}\]

Ответ: Вероятность того, что среди 5 случайно выбранных солдатиков из 20 солдатиков Пети окажется ровно 3 оловянных солдатика, равна примерно 1.054.