Сколько возможных компонент связности может быть в графе с 18 вершинами, в котором каждая вершина имеет степень 2

Aleksandrovich_5975

9

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определимся с понятием компонент связности в графе. Компонента связности - это максимальный, полный подграф, в котором любая пара вершин соединена путем.

Мы знаем, что граф содержит 18 вершин и каждая из них имеет степень 2 или 5. По условию задачи, в графе присутствуют вершины обеих степеней, то есть 2 и 5.

Для начала разделим наши вершины на две категории: вершины степени 2 и вершины степени 5. Пусть у нас будет \(x\) вершин степени 2 и \(y\) вершин степени 5. Также, обозначим количество компонент связности как \(n\).

Теперь давайте рассмотрим вершины степени 2. Каждая такая вершина должна быть соединена с двумя другими вершинами. У нас есть \(x\) таких вершин. Формула для подсчета количества ребер в графе: \(2x\) (две вершины степени 2, связанные каждая с двумя другими вершинами).

Теперь рассмотрим вершины степени 5. Каждая такая вершина должна быть соединена с пятью другими вершинами. У нас есть \(y\) таких вершин. Формула для подсчета количества ребер в графе: \(5y\) (пять вершин степени 5, связанные каждая с пятью другими вершинами).

Сумма всех ребер в графе должна быть равна удвоенному числу ребер, поэтому мы можем записать следующее уравнение:
\[2x + 5y = 2 \cdot E\]

Где \(E\) - это общее число ребер в графе.

Также у нас есть еще одно ограничение: количество вершин в графе равно сумме количества вершин степени 2 и количества вершин степени 5. Мы можем записать это как:
\[x + y = V\]

Где \(V\) - это общее число вершин в графе.

Используя эти два уравнения, мы можем решить систему уравнений и получить значения \(x\) и \(y\). Теперь мы знаем, сколько у нас вершин каждой степени.

Теперь давайте подсчитаем количество компонент связности. Для этого мы можем использовать формулу:
\[n = V - E\]

Где \(V\) - это общее число вершин в графе, а \(E\) - это общее число ребер в графе.

Зная значения \(V\) и \(E\), мы можем получить окончательный ответ на задачу, подставив значения в формулу для \(n\). Например, если \(V = 18\) и \(E = 2x + 5y\), то количество компонент связности будет равно \(n = 18 - (2x + 5y)\).

Таким образом, чтобы решить эту задачу, необходимо найти значения \(x\) и \(y\), затем подставить их в формулу для \(n\), чтобы получить окончательный ответ.