Сколько возможных способов выбрать четыре точки из данных шестнадцати, чтобы построить выпуклый четырёхугольник?

Bukashka

70

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть, как можно выбрать четыре точки из данных шестнадцати для построения выпуклого четырехугольника.

Для начала, давайте подсчитаем общее количество способов выбора четырех точек из шестнадцати. Это можно сделать с использованием формулы сочетания. Формула сочетания определяется как \({n \choose k} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы хотим выбрать. В нашем случае, \(n = 16\) и \(k = 4\). Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[{16 \choose 4} = \frac{{16!}}{{4!(16-4)!}} = \frac{{16!}}{{4!12!}}\]

Теперь давайте вычислим это значение:

\[{16 \choose 4} = \frac{{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 12!}}\]

\[{16 \choose 4} = \frac{{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 1820\]

Таким образом, общее количество способов выбора четырех точек из данных шестнадцати равно 1820.

Однако в этом случае нам интересны только выпуклые четырехугольники, поэтому нам нужно исключить невыпуклые четырехугольники из общего числа комбинаций.

Чтобы исключить невыпуклые четырехугольники, мы можем воспользоваться следующей идеей: выберем любые четыре точки, соединим их отрезками и проверим, лежат ли остальные точки строго внутри этого четырехугольника. Если есть хотя бы одна точка, которая не лежит внутри четырехугольника, то мы исключаем эту комбинацию.

Таким образом, мы должны проверить каждую из 1820 комбинаций и исключить те, в которых найдутся точки, не лежащие внутри четырехугольника. Это может быть сложной и трудоемкой задачей, если делать это вручную.

Надеюсь, этот подход позволил понять, как можно решить данную задачу, и объяснил пошаговое решение, которое потребуется для достижения точного ответа.