Сколько времени потребуется, чтобы давление в закрытом сосуде объемом 1 л под нормальными условиями повысилось

Пчела

6

Для решения данной задачи мы можем использовать уравнение идеального газа, а также формулу для КПД (коэффициента полезного действия) нагревателя.

Шаг 1: Найдем изменение температуры в сосуде.
Для этого воспользуемся уравнением идеального газа:
\[P_1V_1/T_1 = P_2V_2/T_2\]
где \(P_1\) и \(P_2\) - давления в начальном и конечном состояниях, \(V_1\) и \(V_2\) - объемы в начальном и конечном состояниях, \(T_1\) и \(T_2\) - температуры в начальном и конечном состояниях соответственно.

Мы знаем, что начальное давление равно атмосферному давлению в нормальных условиях, то есть \(P_1 = 101325 \, Па\). Также известны начальный объем (\(V_1 = 1 \, л\)) и температура (\(T_1\)), которую необходимо найти.

Конечное давление равно 1 МПа (\(P_2 = 10^6 \, Па\)), а объем остается постоянным (\(V_2 = 1 \, л\)).
Подставим все известные значения в уравнение и найдем конечную температуру \(T_2\).

\[P_1V_1/T_1 = P_2V_2/T_2\]
\[101325 \cdot 1/T_1 = 10^6 \cdot 1/T_2\]

Решим это уравнение относительно \(T_2\):
\[T_2 = \frac{{T_1 \cdot 10^6}}{{101325}}\]

Шаг 2: Найдем количество теплоты, переданное воздуху в сосуде.
Для этого воспользуемся формулой для работы электрического нагревателя:
\[Q = I \cdot U \cdot t\]
где \(Q\) - количество теплоты, \(I\) - сила тока, \(U\) - напряжение и \(t\) - время.

Мы знаем, что сила тока равна 0,2 А (\(I = 0,2 \, А\)), а напряжение равно 10 В (\(U = 10 \, В\)).
Нам нужно найти время, поэтому выразим \(t\) из этой формулы.
\[t = \frac{Q}{{I \cdot U}}\]

Шаг 3: Найдем количество теплоты \(Q\), используя первое начальное уравнение газа.

Известно, что начальное давление равно атмосферному давлению (\(P_1 = 101325 \, Па\)), начальный объем равен 1 л (\(V_1 = 1 \, л\)), и начальная температура (\(T_1\)) также неизвестна. Зная, что конечное давление равно 1 МПа (\(P_2 = 10^6 \, Па\)) и конечный объем равен 1 л (\(V_2 = 1 \, л\)), подставим эти значения в уравнение и найдем \(Q\):

\[P_1V_1/T_1 = P_2V_2/T_2\]
\[101325 \cdot 1/T_1 = 10^6 \cdot 1/T_2\]

Воспользуемся найденным ранее значением \(T_2 = \frac{{T_1 \cdot 10^6}}{{101325}}\), чтобы выразить \(T_1\) через \(T_2\):
\[101325 \cdot 1/T_1 = 10^6 \cdot 1 \cdot 101325/T_1 \cdot 10^6\]
\[101325/T_1 = 101325/T_2\]
\[T_1 = \frac{{T_2 \cdot 101325}}{{10^6}}\]

Теперь мы можем найти \(Q\):
\[Q = P_1V_1 \cdot \frac{{T_1}}{{273}}\]
\[Q = 101325 \cdot 1 \cdot \frac{{T_1}}{{273}}\]
\[Q = \frac{{T_1}}{{273}} \cdot 101325\]

Шаг 4: Подставим найденные значения в формулу для времени:
\[t = \frac{Q}{{I \cdot U}}\]
\[t = \frac{{\frac{{T_1}}{{273}} \cdot 101325}}{{0,2 \cdot 10}}\]
\[t = \frac{{T_1}}{{546}}\]

Шаг 5: Подставим \(T_1\) из шага 3 в формулу для времени:
\[t = \frac{{\frac{{T_2 \cdot 101325}}{{10^6}}}}{{546}}\]
\[t = \frac{{T_2 \cdot 101325}}{{546 \cdot 10^6}}\]

Таким образом, время, необходимое для повышения давления в сосуде до 1 МПа, при условии работы электрического нагревателя при токе 0,2 А и напряжении 10 В, можно выразить как \(\frac{{T_2 \cdot 101325}}{{546 \cdot 10^6}}\).

Для рассчета КПД (коэффициента полезного действия) нагревателя мы используем следующую формулу:
\[\text{КПД} = \frac{{\text{полезная энергия}}}{{\text{затраченная энергия}}} = \frac{{Q}}{{I \cdot U \cdot t}}\]

Подставим известные значения:
\[\text{КПД} = \frac{{\frac{{T_1}}{{273}} \cdot 101325}}{{0,2 \cdot 10 \cdot \frac{{T_1}}{{546}}}}\]
\[\text{КПД} = \frac{{\frac{{T_1}}{{273}} \cdot 101325}}{{0,2 \cdot 10 \cdot \frac{{T_2 \cdot 101325}}{{546 \cdot 10^6}}}}\]
\[\text{КПД} = \frac{{T_2}}{{T_1}} \cdot \frac{{546 \cdot 10^6}}{{546}}\]

Таким образом, КПД нагревателя равен \(\frac{{T_2}}{{T_1}} \cdot 10^6\).