Сколько времени займет точке, движущейся с гармоническими колебаниями с периодом t=6 секунд и начальной фазой ноль

Yagnenka

35

Дано: период колебаний \(t = 6\) секунд, начальная фаза \(\phi = 0\), необходимое смещение \(x = \frac{A}{2}\), где \(A\) - амплитуда колебаний.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу гармонических колебаний, которая связывает смещение точки от положения равновесия \(x\) с амплитудой \(A\) и начальной фазой \(\phi\):

\[x = A \cdot \cos(\omega t + \phi),\]

где \(\omega\) - ангулярная частота, связанная с периодом колебаний \(t\) следующей формулой: \(\omega = \frac{2\pi}{t}\).

Так как нам известно, что точка смещается на \(\frac{A}{2}\), можем записать это в уравнение:

\[\frac{A}{2} = A \cdot \cos(\omega t + \phi).\]

Для нахождения времени, которое займет точке, нам нужно решить это уравнение относительно \(t\). Для начала исключим амплитуду \(A\):

\[\frac{1}{2} = \cos(\omega t + \phi).\]

Чтобы решить это уравнение, применим обратную функцию косинуса к обеим сторонам уравнения:

\[\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \omega t + \phi.\]

Теперь найдем значение арккосинуса, при котором получаем \(\frac{1}{2}\). Это значение равно \(60^\circ\) или \(\frac{\pi}{3}\) радиан.

Подставим это значение в уравнение и решим его относительно \(t\):

\[\frac{\pi}{3} = \omega t + \phi.\]

Теперь найдем значения \(\omega\) и \(\phi\):

\[\omega = \frac{2\pi}{t} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3},\]
\[\phi = 0.\]

Подставим эти значения в уравнение:

\[\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \cdot t + 0.\]

Сократив \(\frac{\pi}{3}\) на обеих сторонах, получим:

\[1 = t.\]

Таким образом, время, которое займет точке, чтобы сместиться от положения равновесия на половину амплитуды, составляет \(1\) секунду.