Сколько всего целых решений имеет неравенство x^3|x^2 -8x +7| > 0 на данном интервале?

Medvezhonok_9094

68

Давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Нам дано неравенство \(x^3|x^2 - 8x + 7| > 0\). Чтобы найти количество целых решений этого неравенства на заданном интервале, нам нужно рассмотреть все возможные значения переменной \(x\) и определить, при каких значениях неравенство выполняется.

Первым шагом давайте разберемся с выражением в модуле \(|x^2 - 8x + 7|\). Чтобы понять, как значения этого выражения влияют на неравенство, нам нужно рассмотреть два случая: когда \(x^2 - 8x + 7 > 0\) и когда \(x^2 - 8x + 7 < 0\).

Для начала, найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - 8x + 7 = 0\). Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для нахождения корней:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[a = 1, \quad b = -8, \quad c = 7\]
\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36\]
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1\]

Таким образом, у нас есть два корня уравнения \(x^2 - 8x + 7 = 0\): \(x_1 = 7\) и \(x_2 = 1\).

Теперь рассмотрим первый случай, когда \(x^2 - 8x + 7 > 0\). Поскольку это квадратный трехчлен, мы знаем, что он может быть положительным только на определенных интервалах. Зная значения корней \(x_1\) и \(x_2\), мы можем разбить весь вещественный интервал на три промежутка: \((-\infty, 1)\), \((1, 7)\) и \((7, +\infty)\).

Теперь давайте рассмотрим каждый из этих трех интервалов и определим знак выражения \(x^2 - 8x + 7\) в них.

В интервале \((-\infty, 1)\):
Подставим произвольное значение, к примеру, \(x = 0\):
\(x^2 - 8x + 7 = (0)^2 - 8(0) + 7 = 7\)
Таким образом, в этом интервале выражение \(x^2 - 8x + 7\) положительное.

В интервале \((1, 7)\):
Подставим произвольное значение, к примеру, \(x = 5\):
\(x^2 - 8x + 7 = (5)^2 - 8(5) + 7 = 25 - 40 + 7 = -8\)
Таким образом, в этом интервале выражение \(x^2 - 8x + 7\) отрицательное.

В интервале \((7, +\infty)\):
Подставим произвольное значение, к примеру, \(x = 10\):
\(x^2 - 8x + 7 = (10)^2 - 8(10) + 7 = 100 - 80 + 7 = 27\)
Таким образом, в этом интервале выражение \(x^2 - 8x + 7\) положительное.

Итак, мы видим, что выражение \(x^2 - 8x + 7\) положительно в интервалах \((-\infty, 1)\) и \((7, +\infty)\), и отрицательно в интервале \((1, 7)\).

Теперь давайте вернемся к исходному неравенству \(x^3|x^2 - 8x + 7| > 0\). Мы знаем, что неравенство обращается в ноль, когда одна из его сторон нулевая. Таким образом, мы замечаем, что значения \(x\), при которых \(x^2 - 8x + 7 = 0\), дают нам нулевые значения выражения \(x^3|x^2 - 8x + 7|\). Это означает, что точки \(x_1\) и \(x_2\) являются краями интервалов, в которых неравенство будет выполняться, а за их пределами неравенство не выполнится.

Таким образом, нам нужно найти количество целых решений на интервалах \((-\infty, 1)\), \((1, 7)\) и \((7, +\infty)\). Поскольку неравенство \(x^3|x^2 - 8x + 7| > 0\) выполняется только когда выражение \(x^2 - 8x + 7\) положительно, мы можем сосредоточиться только на двух интервалах \((-\infty, 1)\) и \((7, +\infty)\), так как в интервале \((1, 7)\) оно не выполняется.

На каждом из этих интервалов количество целых решений будет бесконечным, поскольку неравенство выполняется для всех целых значений \(x\) в этих промежутках.

Итак, чтобы ответить на задачу о количестве целых решений неравенства \(x^3|x^2 - 8x + 7| > 0\) на заданном интервале, мы можем сказать, что количество целых решений бесконечное на каждом из интервалов \((-\infty, 1)\) и \((7, +\infty)\).