Сколько всего различных ключей может существовать для шифрсистемы, где таблица размером 4×4 используется в качестве

Наталья

5

Данная задача может быть решена обратным подсчетом, перебирая все возможные комбинации цифр в каждой ячейке таблицы и проверяя, удовлетворяют ли они условиям задачи. Давайте оценим количество возможных различных ключей, удовлетворяющих условиям.

Для каждой ячейки таблицы у нас есть три варианта выбора цифры - 0, 1 или 2. Так как у нас 16 ячеек, общее число возможных ключей будет равно \(3^{16}\).

Теперь мы должны проверить, какие из этих ключей удовлетворяют условиям задачи.

Для первого условия, где сумма цифр в каждой строке должна быть кратна 3, возможно два варианта: сумма цифр равна 0 или сумма цифр равна 3. Мы можем использовать комбинаторное умножение для расчета числа возможных сочетаний этих значений для каждой строки. В данном случае у нас 4 строки, поэтому всего возможных комбинаций будет \(2^4\).

Аналогично, для второго условия, сумма цифр в каждом столбце должна быть кратна 3. Имеем 4 столбца, поэтому возможные комбинации будут также \(2^4\).

Теперь рассмотрим третье условие, где сумма цифр на каждой из двух диагоналей должна быть кратна 3. У нас есть две диагонали, и каждая состоит из 4 ячеек. Таким образом, для каждой диагонали будет \(2^4\) возможных комбинаций.

Таким образом, общее число ключей, удовлетворяющих всем условиям, можно рассчитать с помощью комбинаторного умножения:

\[количество\;ключей = 3^{16} \cdot 2^4 \cdot 2^4 = 3^{16} \cdot 2^8\]

Для того чтобы получить точное число, выполним вычисления:

\[количество\;ключей = 43046721 \cdot 256 = \underline{\underline{11007531456}}\]

Таким образом, для данной шифрсистемы с таблицей размером 4×4 и цифрами 0, 1 и 2 в каждой ячейке, существует всего 11 007 531 456 различных ключей, удовлетворяющих всем условиям задачи.