Сколько выстрелов солдату потребуется, чтобы достичь ста попаданий, если ему удается поразить цель лишь в 12,5%

Pechenye

56

Чтобы решить эту задачу, нам нужно представить себе вероятность солдата поразить цель и использовать это знание для вычисления количества выстрелов, необходимых для достижения ста попаданий.

Итак, дано, что солдат поражает цель только в 12,5% случаев. Это означает, что вероятность попадания при одном выстреле составляет 0,125 или 12,5%.

Выделим ключевую информацию из условия задачи:
- Вероятность попадания в цель при одном выстреле: 0,125
- Цель - достичь ста попаданий

Теперь давайте рассмотрим, как можно использовать эту информацию. Вероятность того, что солдат попадет в цель при одном выстреле, можно интерпретировать как вероятность успеха в серии независимых испытаний (в этом случае - выстрелов).

Давайте обозначим вероятность успеха как p = 0,125. Также у нас есть цель: достичь ста попаданий. Обозначим количество попаданий как X.

Тогда мы можем представить эту задачу в терминах биномиального распределения. Формула для расчета вероятности определенного количества успехов в серии испытаний выглядит следующим образом:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где:
- P(X=k) - вероятность того, что произойдет k успехов из n испытаний,
- C(n, k) - количество комбинаций выборки из n объектов по k объектов (известно как "число сочетаний"),
- p - вероятность успеха в отдельном испытании,
- (1-p) - вероятность неудачи в отдельном испытании,
- k - количество попаданий,
- n - общее количество испытаний (выстрелов).

Мы знаем, что нам нужно достичь ста попаданий (k=100). Давайте использовать эту информацию, чтобы найти минимальное количество выстрелов, необходимых для достижения этой цели.

Теперь, путем подстановки известных значений в формулу биномиального распределения, мы можем вычислить искомое количество выстрелов, n:

P(X=100) = C(n, 100) * 0,125^100 * (1-0,125)^(n-100)

Обычно, когда нам необходимо провести подобные вычисления, мы бы использовали таблицы сочетаний или калькуляторы, но таким образом мы можем долго искать ответ. Вместо этого, мы можем использовать нормальное приближение для биномиального распределения. Приближенная формула для нормального распределения имеет следующий вид:

P(X=k) приближенно равно N(mu, sigma)

где:
- mu = n * p - математическое ожидание (т.е. среднее количество успехов),
- sigma = sqrt(n * p * (1-p)) - стандартное отклонение,

Таким образом, мы можем применить нормальное приближение, чтобы получить оценку для количества выстрелов, необходимых для достижения 100 попаданий. Давайте найдем n, используя этот подход:

mu = n * p
sigma = sqrt(n * p * (1-p))

100 = n * 0,125

n = 100 / 0,125

n = 800

Таким образом, солдату потребуется 800 выстрелов, чтобы достичь ста попаданий (с вероятностью 12,5% в каждом выстреле).