Сколько железнодорожных путей будет построено в данном государстве, где имеется 10 городов и 21 автодорога, каждая
Сколько железнодорожных путей будет построено в данном государстве, где имеется 10 городов и 21 автодорога, каждая из которых соединяет два города и не существует железнодорожного сообщения между городами, если железная дорога устанавливается только тогда, когда отсутствует автомобильная дорога между этими городами?
Вечный_Герой_109 12
Для решения данной задачи необходимо использовать принцип дополнения и операцию вычитания.По условию задачи имеется 10 городов и 21 автодорога, каждая из которых соединяет два города. Перед нами стоит задача определить количество железнодорожных путей, которые будут построены в этом государстве.
Давайте воспользуемся принципом дополнения, который гласит: "Число способов сделать что-то равно числу способов сделать это на всеобщем случае минус число способов сделать это на особом случае".
На всеобщем случае в данной задаче есть 10 городов, и каждый город должен быть соединен с каждым. То есть общее количество возможных соединений равно \(\binom{10}{2}\), что является числом сочетаний из 10 по 2.
Теперь давайте рассмотрим особый случай, где имеются уже построенные автодороги. Из условия задачи известно, что имеется 21 автодорога. На каждую автодорогу приходится один город взаимоисключающий с железнодорожными путями.
Следовательно, для определения количества железнодорожных путей, нужно вычесть из общего числа возможных соединений на всеобщем случае число автодорог.
Вычитание можно записать следующим образом:
\[\binom{10}{2} - 21\]
Произведем расчет:
\[\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45\]
Теперь вычтем число автодорог:
\[45 - 21 = 24\]
Итак, количество железнодорожных путей, которые будут построены в данном государстве, составляет 24.