Согласно древней легенде, мудрец, который изобрел шахматы, попросил у персидского шаха особое вознаграждение

Якорица

68

Данная задача связана с геометрической прогрессией, так как количество зерен на каждой клетке удваивается. Для решения задачи мы можем использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[S_n = a \cdot \frac{{1 - q^n}}{{1 - q}}\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, в данном случае 2, и \(n\) - количество членов прогрессии, в данной задаче соответствует номеру последней клетки.

Теперь давайте решим задачу:

1) Количество зерен на последней клетке:

Из условия задачи мы знаем, что на первой клетке находится 1 зерно. Используя формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии, подставим \(a = 1\), \(q = 2\) и \(n = 64\) (всего 64 клетки на шахматной доске):

\[S_{64} = 1 \cdot \frac{{1 - 2^{64}}}{{1 - 2}}\]

Вычисляя данное выражение, мы получим:

\[S_{64} = 1 \cdot \frac{{1 - 18446744073709551616}}{{-1}}\]

\[S_{64} = 1 \cdot 18446744073709551615\]

Таким образом, на последней клетке окажется 18,446,744,073,709,551,615 зерен.

2) На какой клетке окажется 258 зерен:

Мы должны найти номер клетки, на которой находится 258 зерен. Для этого мы можем построить уравнение:

\[S_n = 258\]

Подставляя значения в формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, мы получим:

\[1 \cdot \frac{{1 - 2^n}}{{1 - 2}} = 258\]

\[2^n - 1 = 258\]

2^n = 259

Чтобы найти значение n, мы можем применить логарифм:

\(\log_2(2^n) = \log_2(259)\)

n \cdot \log_2(2) = \log_2(259)

n = \frac{{\log_2(259)}}{{\log_2(2)}}

n \approx \frac{{8.0063687448806}}{{0.6931471805599453}}

n \approx 11.542

Таким образом, на 11-ой клетке окажется 258 зерен.

3) Сколько всего пшеницы получит мудрец:

Для ответа на этот вопрос нам нужно узнать общее количество зерен на всей шахматной доске. Мы уже вычислили, что на последней клетке окажется 18,446,744,073,709,551,615 зерен. Теперь нам нужно найти сумму всех членов прогрессии, то есть использовать формулу для суммы первых n членов:

\[S_{64} = 1 \cdot \frac{{1 - 2^{64}}}{{1 - 2}}\]

\[S_{64} = 1 \cdot 18446744073709551615\]

Теперь, учитывая, что 15 г зерен равны 1 г пшеницы, мы можем найти общее количество пшеницы, поделив общее количество зерен на 15:

\[общее_количество_пшеницы = \frac{{S_{64}}}{{15}}\]

\[общее_количество_пшеницы = \frac{{18446744073709551615}}{{15}}\]

В результате получаем:

\[общее_количество_пшеницы \approx 1.229782938247303439 \times 10^{18}\]

Таким образом, мудрец получит приблизительно 1.23 × \(10^{18}\) г пшеницы.