Сократите дробь: б) 2- sqrt(2) / sqrt(6) - sqrt(3); в) x^2 - 2 / sqrt(2x

Радуга_На_Небе

62

Сократим дроби, представленные в задаче.

а) Для сокращения дроби \(\frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}\) умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, чтобы устранить иррациональные (с корнем) знаменатели. В данном случае, сопряженным выражением для \(\sqrt{6} - \sqrt{3}\) будет \(\sqrt{6} + \sqrt{3}\).
\[
\frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}
\]

Теперь перемножим числители и знаменатели и заметим, что по свойству разности квадратов выражение в знаменателе превращается в разность квадратов:
\[
\frac{(2 - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2}
\]

Продолжим раскрытие скобок в числителе и упростим выражение:
\[
\frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{6}}{6 - 3}
\]

Далее, объединим подобные слагаемые в числителе:
\[
\frac{2\sqrt{6} - \sqrt{6} + 2\sqrt{3} - \sqrt{12}}{6 - 3}
\]

Продолжим упрощение:
\[
\frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3}
\]

Таким образом, сокращенная форма дроби \(\frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}\) равна \(\frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3}\).

б) Аналогично, для сокращения дроби \(\frac{x^2 - 2}{\sqrt{2x}}\) умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, чтобы устранить иррациональные (с корнем) знаменатели. В данном случае, сопряженным выражением для \(\sqrt{2x}\) будет \(\sqrt{2x}\).
\[
\frac{x^2 - 2}{\sqrt{2x}} \cdot \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2x}}
\]

Теперь перемножим числители и знаменатели:
\[
\frac{(x^2 - 2)\sqrt{2x}}{(\sqrt{2x})^2}
\]

Упростим выражение:
\[
\frac{(x^2 - 2)\sqrt{2x}}{2x}
\]

Таким образом, сокращенная форма дроби \(\frac{x^2 - 2}{\sqrt{2x}}\) равна \(\frac{(x^2 - 2)\sqrt{2x}}{2x}\).