Соответствует ли истине уравнение cos^2(14π+x)=1+sin^2(26π−x)?

Yastreb

9

Давайте разберемся с этой задачей поэтапно:

Шаг 1: Понятие о тригонометрических тождествах
Для начала, нам нужно знать некоторые фундаментальные тригонометрические тождества. Одно из них гласит:
\(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\)
Это известное тригонометрическое тождество говорит нам, что сумма квадратов косинуса и синуса любого угла всегда равна 1.

Шаг 2: Замена переменных
Теперь давайте приступим к обработке нашего уравнения. Посмотрим на уравнение:
\(\cos^2(14\pi + x) = 1 + \sin^2(26\pi - x)\)
Заметим, что углы \(14\pi + x\) и \(26\pi - x\) могут быть представлены как разности углов между положительной осью x и соответствующими углами. Давайте введем новую переменную \(\theta\):
\(\theta = 14\pi + x\)
Теперь мы можем переписать наше уравнение в терминах \(\theta\) следующим образом:
\(\cos^2(\theta) = 1 + \sin^2(12\pi - \theta)\)

Шаг 3: Применение тригонометрического тождества
Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством:
\(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\)
Теперь мы можем заменить \(\cos^2(\theta)\) в нашем уравнении с использованием этого тождества:
\(1 + \sin^2(\theta) = 1 + \sin^2(12\pi - \theta)\)

Шаг 4: Упрощение
Давайте продолжим раскрытие скобок в правой части уравнения:
\(1 + \sin^2(\theta) = 1 + \sin^2(12\pi)\cos^2(\theta) - 2\sin(\theta)\cos(\theta)\sin(12\pi)\)

Шаг 5: Применение тождества
Теперь применим тождество \(\sin(12\pi) = 0\) и упростим уравнение еще больше:
\(1 + \sin^2(\theta) = 1 + \sin^2(12\pi)\cos^2(\theta) - 2\sin(\theta)\cos(\theta)\cdot 0\)
\(1 + \sin^2(\theta) = 1 + 0\cdot\cos^2(\theta)\)
\(1 + \sin^2(\theta) = 1\)

Шаг 6: Заключение
Таким образом, мы установили, что левая и правая части уравнения равны между собой, и они обе равны 1. Следовательно, данное уравнение истинно.

Ответ: Да, истинно уравнение \(\cos^2(14\pi+x) = 1 + \sin^2(26\pi-x)\).