Составьте таблицу вероятностей для случайной величины X, которая представляет собой число правильных ответов

Pylayuschiy_Zhar-ptica

6

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей. Мы должны составить таблицу вероятностей для случайной величины X, которая представляет собой число правильных ответов при простом угадывании трех вопросов.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала определить все возможные значения X. В случае угадывания каждый вопрос может иметь два возможных ответа: правильный (P) или неправильный (N). Таким образом, для трех вопросов число правильных ответов может быть от 0 до 3.

Теперь для каждого значения X мы определим вероятность получить именно это количество правильных ответов. Для этого мы можем использовать формулу биномиального распределения, так как каждый вопрос является независимым экспериментом, в котором вероятность правильного ответа составляет 0.5.

Таблица вероятностей для X будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
X & P(X) \\
\hline
0 & \binom{3}{0} \cdot (0.5)^0 \cdot (1-0.5)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.125 = 0.125 \\
\hline
1 & \binom{3}{1} \cdot (0.5)^1 \cdot (1-0.5)^{3-1} = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.375 \\
\hline
2 & \binom{3}{2} \cdot (0.5)^2 \cdot (1-0.5)^{3-2} = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 0.375 \\
\hline
3 & \binom{3}{3} \cdot (0.5)^3 \cdot (1-0.5)^{3-3} = 1 \cdot 0.125 \cdot 1 = 0.125 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Теперь, чтобы найти математическое ожидание (m(X)), нам нужно умножить каждое значение X на соответствующую вероятность P(X) и сложить полученные произведения:

\[
m(X) = 0 \cdot 0.125 + 1 \cdot 0.375 + 2 \cdot 0.375 + 3 \cdot 0.125 = 0.75
\]

Дисперсия (d(X)) случайной величины X определяется как сумма квадратов отклонений каждого значения X от его математического ожидания, умноженных на соответствующие вероятности P(X):

\[
d(X) = (0-0.75)^2 \cdot 0.125 + (1-0.75)^2 \cdot 0.375 + (2-0.75)^2 \cdot 0.375 + (3-0.75)^2 \cdot 0.125 = 0.9375
\]

Наконец, стандартное отклонение (σ(X)) является квадратным корнем из дисперсии:

\[
\sigma(X) = \sqrt{d(X)} = \sqrt{0.9375} \approx 0.96825
\]

Таким образом, таблица вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины X для данной задачи составлены. Я надеюсь, что объяснение было понятным! Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.