Сравнить эквивалентны ли уравнения: 5x² + 4x – 1 = 0 и x(2x +11

Волшебник_8222

3

Для начала давайте разберемся в определении эквивалентности уравнений. Уравнения называются эквивалентными, если они имеют одни и те же корни, то есть значения переменных, для которых уравнение выполняется.

У нас есть два уравнения: 5x² + 4x – 1 = 0 и x(2x +11). Давайте решим каждое уравнение по очереди и проверим, эквивалентны ли они.

1) Решение уравнения 5x² + 4x – 1 = 0:

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b² - 4ac\]

где a, b и c соответствуют коэффициентам уравнения. В нашем случае a = 5, b = 4 и c = -1. Подставим эти значения в формулу:

\[D = (4)² - 4(5)(-1) = 16 + 20 = 36\]

Теперь, используя значение дискриминанта, мы можем рассмотреть три случая:

- Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня.
- Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень.
- Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае \(D = 36 > 0\), что означает, что уравнение имеет два различных корня.

Теперь воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Для нашего уравнения:

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2*5}\]

\[x = \frac{-4 \pm 6}{10}\]

Таким образом, уравнение 5x² + 4x – 1 = 0 имеет два корня:

\[x_1 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{1}{5} = 0.2\]

\[x_2 = \frac{-4 - 6}{10} = -1\]

2) Решение уравнения x(2x +11):

Чтобы решить это уравнение, раскроем скобки:

\[2x^2 + 11x\]

Таким образом, уравнение стало эквивалентным уравнению 2x² + 11x = 0.

Однако, это уравнение не является эквивалентным исходному уравнению 5x² + 4x – 1 = 0. Последние имеет два различных корня, в то время как измененное уравнение имеет только один корень x = 0.

Таким образом, уравнения 5x² + 4x – 1 = 0 и x(2x +11) не являются эквивалентными.