Сравните с нулём число k, если: 1) направления векторов 3a и ka совпадают; 2) направления векторов −5a

Marina

27

Хорошо, давайте рассмотрим каждую часть задачи более подробно:

1) Если направления векторов \(3\mathbf{a}\) и \(k\mathbf{a}\) совпадают, значит, эти векторы будут коллинеарными. Векторы называются коллинеарными, когда они лежат на одной прямой или параллельны друг другу.

Чтобы найти значение \(k\), при котором направления векторов совпадают, нужно учесть, что вектора \(3\mathbf{a}\) и \(k\mathbf{a}\) будут коллинеарными, если они пропорциональны. То есть, один можно получить из другого, умножив его на определенное значение \(k\). Таким образом, мы можем записать:

\[3\mathbf{a} = k\mathbf{a}\]

Так как векторы коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны. Векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{a}\) равны между собой, поэтому мы можем записать:

\[3 \cdot (a_x, a_y, a_z) = k \cdot (a_x, a_y, a_z)\]

где \(a_x\), \(a_y\), и \(a_z\) - координаты вектора \(\mathbf{a}\).

Теперь можем сократить общий множитель \((a_x, a_y, a_z)\) с обеих сторон уравнения, и получим:

\[3 = k\]

Таким образом, при \(k = 3\) направления векторов \(3\mathbf{a}\) и \(k\mathbf{a}\) совпадают.

2) Если направления векторов \(-5\mathbf{a}\) и \(k\mathbf{a}\) противоположны, значит, эти векторы будут антиколлинеарными. Векторы называются антиколлинеарными, когда они лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

Аналогично первому пункту, мы можем записать:

\[-5\mathbf{a} = k\mathbf{a}\]

Так как векторы антиколлинеарны, мы должны поменять знак одного из них, чтобы они противоположны друг другу:

\[-5\mathbf{a} = -k\mathbf{a}\]

Теперь, как и раньше, можно сократить общий множитель \((a_x, a_y, a_z)\) с обеих сторон уравнения, и получим:

\[-5 = -k\]

Умножим обе части уравнения на \(-1\), чтобы избавиться от знака минус:

\[5 = k\]

Таким образом, при \(k = 5\) направления векторов \(-5\mathbf{a}\) и \(k\mathbf{a}\) противоположны.

3) В этом пункте имеется небольшая ошибка в записи. Предположим, что вместо \(k a\) должно быть записано \(k \mathbf{a}\) без пробела.

Если направления векторов \(k\mathbf{a}\) и \(k \mathbf{a}\) противоположны, значит, эти векторы будут параллельными. Векторы называются параллельными, когда они лежат на одной прямой, но могут иметь разную длину.

Мы можем записать:

\[k\mathbf{a} = -k\mathbf{a}\]

Для параллельных векторов, координаты должны быть пропорциональны, как и в первом пункте. Поэтому мы можем записать:

\[k \cdot (a_x, a_y, a_z) = -k \cdot (a_x, a_y, a_z)\]

Сократим общий множитель \((a_x, a_y, a_z)\) с обеих сторон уравнения:

\[k = -k\]

Это уравнение может быть истинным только при \(k = 0\). При \(k = 0\) направления векторов \(k\mathbf{a}\) и \(k \mathbf{a}\) противоположны.

В итоге, чтобы сравнить число \(k\) с нулём:
1) Если направления векторов \(3\mathbf{a}\) и \(k\mathbf{a}\) совпадают, то \(k = 3\).
2) Если направления векторов \(-5\mathbf{a}\) и \(k\mathbf{a}\) противоположны, то \(k = 5\).
3) Если направления векторов \(k\mathbf{a}\) и \(k \mathbf{a}\) противоположны, то \(k = 0\).