Среди группы из n изделий есть два изделия с непоказанным дефектом. Изделия выбираются случайным образом одно за другим

Космическая_Чародейка

62

Чтобы решить данную задачу о вероятности, мы можем использовать так называемый метод Бернулли.

Для начала найдем вероятность того, что первое дефектное изделие будет найдено на k-м шаге. Для этого нам необходимо, чтобы среди первых k-1 изделий не было дефектных, а на k-м шаге было найдено первое дефектное изделие.

Вероятность выбрать дефектное изделие на k-м шаге равна \( \frac{2}{n} \), так как из n изделий два из них дефектные. Вероятность не выбрать дефектное изделие на каждом из первых k-1 шагов равна \( \frac{n-2}{n} \), так как у нас остается n-2 недефектных изделия.

Таким образом, вероятность, что первое дефектное изделие будет найдено на k-м шаге равна \( \frac{2}{n} \cdot \left(\frac{n-2}{n}\right)^{k-1} \).

Теперь мы можем найти вероятность того, что придется проверить точно k изделий. Так как нам нужно найти оба дефектных изделия, вероятность состоит из двух частей:

1) Вероятность найти первое дефектное изделие на k-м шаге.
2) Вероятность найти второе дефектное изделие на (k+1)-м шаге.

Таким образом, вероятность того, что придется проверить точно k изделий, равна:

\[ P(\text{точно } k \text{ изделий}) = \frac{2}{n} \cdot \left(\frac{n-2}{n}\right)^{k-1} \cdot \frac{2}{n-1} \cdot \left(\frac{n-3}{n-1}\right)^{k-1} \]

Теперь рассмотрим вероятность того, что придется проверить как минимум k изделий. Это будет сумма вероятностей того, что придется проверить точно k, k+1, k+2, и так далее, изделий. То есть:

\[ P(\text{как минимум } k \text{ изделий}) = P(\text{точно } k \text{ изделий}) + P(\text{точно } (k+1) \text{ изделий}) + P(\text{точно } (k+2) \text{ изделий}) + \ldots \]

Данная формула является бесконечной суммой, но мы можем найти ее значение, взяв предел справа, когда k стремится к бесконечности. В итоге, мы получим:

\[ P(\text{как минимум } k \text{ изделий}) = \sum_{i=k}^{\infty} \left(\frac{2}{n} \cdot \left(\frac{n-2}{n}\right)^{i-1}\right) \cdot \left(\frac{2}{n-1} \cdot \left(\frac{n-3}{n-1}\right)^{i-1}\right) \]

Выражения для вероятностей в обоих случаях даны выше. Теперь, зная значение n, вы можете подставить его в формулы и решить задачу, найдя вероятности.