Среди предметов, созданных рабочим, примерно 2% являются нестандартными. Найдите вероятность, что среди пяти предметов

Zimniy_Vecher

34

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать комбинаторику и вероятность. Давайте разберем каждый пункт по очереди.

а) Вероятность того, что среди пяти предметов будут три нестандартных предмета, можно найти с использованием формулы биномиального распределения. Формула для нахождения вероятности появления k успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \]

где \( C_n^k \) - число сочетаний из n по k, а в нашем случае n = 5, k = 3 (три нестандартных предмета). Вероятность успеха p равна 0.02 (так как 2% предметов нестандартные).

Теперь вычислим каждую часть формулы:

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \]

\[ p^k = 0.02^3 = 0.000008 \]

\[ (1 - p)^{n - k} = (1 - 0.02)^{5 - 3} = 0.9804 \]

Теперь можем найти искомую вероятность:

\[ P(X = 3) = 10 \cdot 0.000008 \cdot 0.9804 \approx 0.000078 \]

Таким образом, вероятность того, что среди пяти предметов будут три нестандартных предмета, примерно равна 0.000078.

б) Чтобы найти наиболее вероятное количество нестандартных предметов из пяти, нужно подсчитать вероятности для всех возможных случаев (от 0 до 5 нестандартных предметов) и выбрать значение с наибольшей вероятностью.

Подсчитаем вероятности для каждого случая:
- 0 нестандартных предметов: \( P(X = 0) = C_5^0 \cdot 0.02^0 \cdot (1 - 0.02)^5 \)
- 1 нестандартный предмет: \( P(X = 1) = C_5^1 \cdot 0.02^1 \cdot (1 - 0.02)^4 \)
- 2 нестандартных предмета: \( P(X = 2) = C_5^2 \cdot 0.02^2 \cdot (1 - 0.02)^3 \)
- 3 нестандартных предмета: \( P(X = 3) = C_5^3 \cdot 0.02^3 \cdot (1 - 0.02)^2 \)
- 4 нестандартных предмета: \( P(X = 4) = C_5^4 \cdot 0.02^4 \cdot (1 - 0.02)^1 \)
- 5 нестандартных предметов: \( P(X = 5) = C_5^5 \cdot 0.02^5 \cdot (1 - 0.02)^0 \)

Посчитаем каждую вероятность:

- \( P(X = 0) = 1 \cdot 0.02^0 \cdot 0.98^5 \approx 0.9039 \)
- \( P(X = 1) = 5 \cdot 0.02^1 \cdot 0.98^4 \approx 0.0956 \)
- \( P(X = 2) = 10 \cdot 0.02^2 \cdot 0.98^3 \approx 0.0047 \)
- \( P(X = 3) \) мы уже посчитали в пункте а: \( P(X = 3) \approx 0.000078 \)
- \( P(X = 4) = 5 \cdot 0.02^4 \cdot 0.98^1 \approx 0.0000039 \)
- \( P(X = 5) = 1 \cdot 0.02^5 \cdot 0.98^0 \approx 0.00000003 \)

Из полученных значений мы видим, что наиболее вероятное количество нестандартных предметов из пяти - 0. Это следует из того, что вероятность \( P(X = 0) \approx 0.9039 \) больше, чем вероятности для других случаев.

в) В данном случае нам нужно найти вероятность того, что среди пяти предметов не будет ни одного нестандартного предмета. Это означает, что все 5 предметов будут стандартными.

Вероятность того, что один предмет является стандартным, равна 1 - вероятности того, что он нестандартный (1 - 0.02). Поскольку все предметы являются стандартными, мы можем просто умножить вероятности каждого предмета, чтобы найти конечную вероятность.

\[ P(X = 0) = (1 - 0.02)^5 = 0.98^5 \approx 0.9039 \]

Таким образом, вероятность того, что среди пяти предметов не будет ни одного нестандартного предмета, примерно равна 0.9039.