Сторона основания правильной треугольной призмы abca1b1c1 имеет длину 8√3 см. На ребре bb1 выбрали точку k такую

Zvonkiy_Elf

20

Для решения этой задачи нам понадобится использовать различные геометрические свойства и формулы. Давайте разберемся по шагам.

1. Задача говорит о правильной треугольной призме abca1b1c1, где сторона основания abca1b1c1 имеет длину 8√3 см. Правильная треугольная призма означает, что у треугольников abc и a1b1c1 все стороны равны друг другу.

2. Для начала найдем высоту треугольной призмы. Так как abc - правильный треугольник, то его высота будет проходить через точку k и перпендикулярна плоскости abc. Обозначим высоту как hk.

3. Также известно, что отношение bk:k b1 равно 3:5. Обозначим bk как 3x, а k b1 как 5x.

4. Расстояние между линиями bc и a1c1 равно hk. Поэтому мы должны найти hk.

5. Для нахождения hk воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике bb1k. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Гипотенуза - это отрезок bk + k b1, а катеты - bk и k b1.

\((3x)^2 + (5x)^2 = (bk + k b1)^2\)

\(9x^2 + 25x^2 = (8\sqrt{3})^2\)

\(34x^2 = 192\)

\(x^2 = \frac{192}{34} = \frac{96}{17}\)

\(x = \sqrt{\frac{96}{17}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{6}\sqrt{17}}{\sqrt{17}\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{102}}{17}\)

Теперь у нас есть значение x.

6. Теперь найдем hk как 5x, так как отношение bk:k b1 равно 3:5.

\(hk = 5x = \frac{20\sqrt{102}}{17}\)

7. Далее нам необходимо найти тангенс угла между плоскостями abc и akc. Для этого нам понадобится использовать геометрическое свойство, что тангенс угла между плоскостями равен отношению высоты hk к расстоянию между плоскостями.

\(tg(\angle akc) = \frac{hk}{bc}\)

Значение hk мы уже нашли в предыдущем шаге. Поскольку abc - треугольник равносторонний, длина стороны bc равна длине стороны abca1b1c1, что равно 8√3 см.

Подставим значения в формулу и рассчитаем:

\(tg(\angle akc) = \frac{\frac{20\sqrt{102}}{17}}{8\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{102}}{17 \cdot 8\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{102}}{4\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{102}\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{306}}{12}\)

Таким образом, тангенс угла между плоскостями abc и akc равен \(\frac{5\sqrt{306}}{12}\).