Студенты трех групп сдали экзамен. В каждой группе учатся разное количество студентов. Узнать вероятность того
Студенты трех групп сдали экзамен. В каждой группе учатся разное количество студентов. Узнать вероятность того, что выбранный наугад студент не сдал экзамен и принадлежит к определенной группе. Даны проценты студентов и их вероятность сдать экзамен. Найти вероятность принадлежности студента из каждой группы. Данные: группа 1 - 5%, группа 2 - 60%, группа 3 - 20%. Вероятность положительной оценки: группа 1 - 70%, группа 2 - 80%, группа 3 - 90%.
Ogonek_9647 57
Для решения данной задачи используем формулу условной вероятности. Пусть А - событие "студент не сдал экзамен", а Bi - событие "выбранный студент принадлежит к группе i". Нам нужно найти вероятность принадлежности студента из каждой группы при условии, что он не сдал экзамен.Необходимо найти P(Bi | A) для каждой группы i.
Для начала вычислим вероятность события "студент не сдал экзамен". Для этого сложим вероятности несдачи экзамена в каждой группе, умноженные на вероятность выбора студента из соответствующей группы. Обозначим эту вероятность как P(A):
\[ P(A) = P(A | B1) \cdot P(B1) + P(A | B2) \cdot P(B2) + P(A | B3) \cdot P(B3) \]
Теперь рассчитаем вероятность принадлежности студента из каждой группы при условии, что он не сдал экзамен. Используем формулу условной вероятности:
\[ P(Bi | A) = \frac{{P(A | Bi) \cdot P(Bi)}}{{P(A)}} \]
Теперь найдем значения вероятностей сдачи экзамена в каждой группе и подставим данные:
P(A | B1) = 1 - 0.70 = 0.30 (вероятность несдачи экзамена в группе 1)
P(A | B2) = 1 - 0.80 = 0.20 (вероятность несдачи экзамена в группе 2)
P(A | B3) = 1 - 0.60 = 0.40 (вероятность несдачи экзамена в группе 3)
Теперь подставим все значения в формулу и рассчитаем вероятности принадлежности студента из каждой группы:
P(B1 | A) = \[\frac{{0.30 \cdot 0.05}}{{P(A)}}\]
P(B2 | A) = \[\frac{{0.20 \cdot 0.60}}{{P(A)}}\]
P(B3 | A) = \[\frac{{0.40 \cdot 0.20}}{{P(A)}}\]
Найдем значение P(A) с помощью предварительного вычисления:
\[P(A) = 0.30 \cdot 0.05 + 0.20 \cdot 0.60 + 0.40 \cdot 0.20\]
\[P(A) = 0.015 + 0.12 + 0.08 = 0.215\]
Теперь можем подставить это значение в формулы и рассчитать итоговые вероятности:
P(B1 | A) = \[\frac{{0.30 \cdot 0.05}}{{0.215}}\]
P(B2 | A) = \[\frac{{0.20 \cdot 0.60}}{{0.215}}\]
P(B3 | A) = \[\frac{{0.40 \cdot 0.20}}{{0.215}}\]
P(B1 | A) ≈ 0.0698
P(B2 | A) ≈ 0.5581
P(B3 | A) ≈ 0.1860
Итак, вероятность принадлежности студента из группы 1, 2 и 3, если он не сдал экзамен, составляет примерно 0.0698, 0.5581 и 0.1860 соответственно.